Кіріспе
Топтық теорияда шектеу, бүкіл топтың белгілі бір бейнелеуін пайдаланып, кіші топтың бейнелеуін құрайды. Шектеу – топтардың бейнелеу теориясының негізгі құрылымы болып табылады. Көбінесе шектелген бейнелеуді түсіну оңайырақ. Азайтылмайтын бейнелеудің кіші топтың азайтылмайтын бейнелеулеріне жіктелуінің ережесі тармақталу ережесі деп аталады және физикада маңызды қолданысқа ие. Мысалы, симметрияның бұзылу жағдайында, проблеманың симметрия тобы бүкіл топтан оның кіші топтарының біріне дейін қысқартылады. Кванттық механикада, симметрияның төмендеуі Старк немесе Зиман эффектісі сияқты, дегенеративті энергия деңгейлерінің көптеген бөліктерге бөлінуі ретінде көрінеді. Индукцияланған бейнелеу – бұл кіші топтың бейнелеуінен бүкіл топтың бейнелеуін құрайтын байланысты операция. Шектеу мен индукция арасындағы байланысты Фробеньоның өзара байланысы және Маккей теоремасы сипаттайды. Нормалды кіші топқа шектеу ерекше жақсы әрекет етеді және А.Х. Клиффордтың теоремасынан кейін оны жиі Клиффорд теориясы деп атайды. Шектеу басқа топтық гомоморфизмдерге және басқа сақиналарға да жалпылана алады. Кез келген G тобы, оның H кіші тобы және G-нің ρ сызықтық бейнелеуі үшін, ρ-ның H-ға шектеуі, H-ның сол векторлық кеңістіктегі бірдей операторлармен бейнелеуі:
is a representation of H on the same vector space by the same operators:
Гельфанд-Цетлин негіздері
Бұтақтану ережелерінен бастап немесе бастап бірлікке ие болғандықтан, кішірейе түскен N-ге сәйкес келетін азайтылмайтын қосылғыштар ақырында бір өлшемді кеңістіктерде тоқтатылады. Осылайша Гелфанд пен Цетлин бір-бірімен кезегімен тізбектеліп орналасқан қолтаңбалармен белгіленген, кез келген азайтылмайтын бейнелеудің немесе бейнелеуінің негізін алуға қол жеткізді, оны Гелфанд-Цетлин үлгісі деп атады. Гелфанд-Цетлин негізіндегі Ли алгебрасының әрекетіне қатысты нақты формулалар келтірілген. Атап айтқанда, үшін, өлшемді азайтылмайтын бейнелеудің Гельфанд-Цетлин негізі кешенді сфералық гармоникалармен берілген. Қалған классикалық топ үшін бұтақтану көптіксіз емес, сондықтан егер V және W азайтылмайтын бейнелеу болса, араласқандар кеңістігінің өлшемі бірден үлкен болуы мүмкін. Людвиг Фадеев және оның әріптестері енгізген Хопф алгебрасы Янгиан осы көптік кеңістікте қайталанбай әрекет етеді, бұл факт Гелфанд-Цетлин негіздерін құруды кеңейтуге мүмкіндік берді.
For the remaining classical group , the branching is no longer multiplicity free, so that if V and W are irreducible representation of and the space of intertwiners can have dimension greater than one. It turns out that the Yangian , a Hopf algebra introduced by Ludwig Faddeev and collaborators, acts irreducibly on this multiplicity space, a fact which enabled to extend the construction of Gelfand–Tsetlin bases to .
Клиффорд теоремасы
1937 жылы Альфред Х. Клиффорд G тобынан шекті индекстің N қалыпты кіші тобына шекті өлшемді азайтылмайтын бейнелеулерді шектеу туралы келесі нәтижені дәлелдеді:
Теорема. : G → GL(n,K) K өрісіндегі азайтылмайтын бейнелеу болсын. Онда N-ге шектеу N-дің тең өлшемді азайтылмайтын бейнелеулерінің тікелей қосындысына жіктеледі. N-нің бұл азайтылмайтын бейнелеулері N-нің азайтылмайтын бейнелеулерінің эквиваленттілік кластарына G-нің конъюгация әрекеті бойынша бір орбитада орналасқан. Атап айтқанда, ерекше қосылғыштардың саны G-дегі N индексінен аспайды.
the restriction of to N breaks up into a direct sum of irreducible representations of N of equal dimensions. These irreducible representations of N lie in one orbit for the action of G by conjugation on the equivalence classes of irreducible representations of N. In particular the number of distinct summands is no greater than the index of N in G.
Жиырма жыл өткен соң Джордж Маккей бұл нәтиженің жергілікті компактты топтардың азайтылмайтын унитарлық бейнелеулерін жабық қалыпты кіші топтарға шектеу үшін дәлірек нұсқасын тапты, бұл «Маккей машинасы» немесе «Маккей қалыпты кіші топтар талдауы» деп белгілі болды.
Абстрактіл алгебралық орнату
Категория теориясы тұрғысынан алғанда, шектеу – ұмытшақ функтордың бір мысалы. Бұл функтор дәл, ал оның сол жақ қосымша функторы индукция деп аталады. Әртүрлі контексттерде шектеу мен индукция арасындағы байланыс Фробенус өзара тепе-теңдігі деп аталады. Индукция және шектеу операциялары бірге бейнелеулерді талдау үшін қуатты құралдар жиынтығын құрайды. Бұл, әсіресе, бейнелеулер толық түрлендірілу қасиетіне ие болғанда маңызды, мысалы, нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі шекті топтардың бейнелеу теориясында.
Жалпылау
Бұл айқын құрылымды көптеген және маңызды тәсілдермен кеңейтуге болады. Мысалы, кіріктіру картасының орнына H-ден G-ге кез келген топтық гомоморфизм φ-ні алып, құрастыру арқылы H-нің шектелген өкілдігін анықтауға болады. Бұл идеяны абстрактілік алгебраның басқа категорияларына да қолдануға болады: ассоциативтік алгебралар, сақиналар, Ли алгебралары, Ли супералгебралары, Хопф алгебралары және тағы басқалар. Өкілдіктер немесе модульдер субобъектілерге немесе гомоморфизмдер арқылы шектеледі.
We may also apply the idea to other categories in abstract algebra: associative algebras, rings, Lie algebras, Lie superalgebras, Hopf algebras to name some. Representations or modules restrict to subobjects, or via homomorphisms.