Введение
В теории групп ограничение строит представление подгруппы, используя известное представление всей группы. Ограничение является фундаментальной конструкцией в теории представлений групп. Ограниченное представление часто легче понять. Правила разложения ограничения неприводимого представления на неприводимые представления подгруппы называются правилами ветвления и имеют важное применение в физике. Например, в случае явного нарушения симметрии, группа симметрии задачи уменьшается от всей группы до одной из её подгрупп. В квантовой механике это уменьшение симметрии проявляется в расщеплении вырожденных энергетических уровней на мультиплеты, как в эффекте Старка или эффекте Зеемана. Индуцированное представление – это связанная операция, которая строит представление всей группы из представления подгруппы. Связь между ограничением и индукцией описывается взаимностью Фробениуса и теоремой Макки. Ограничение к нормальной подгруппе ведет себя особенно хорошо и часто называется теорией Клиффорда по имени теоремы А. Х. Клиффорда. Ограничение можно обобщить на другие гомоморфизмы групп и на другие кольца. Для любой группы G, её подгруппы H и линейного представления ρ группы G, ограничение ρ на H, обозначаемое
is a representation of H on the same vector space by the same operators:
Гельфанд-Цетлин
Поскольку правила разветвления от к или к имеют единичную кратность, необратимые слагаемые, соответствующие все меньшим и меньшим N, в конечном итоге завершаются в одномерных подпространствах. Таким образом, Гельфанд и Цетлин смогли получить базис любого необратимого представления или , заданного цепочкой чередующихся сигнатур, называемой шаблоном Гельфанд — Цетлина. Явные формулы для действия алгебры Ли на базисе Гельфанд — Цетлина приведены в частности, для , базис Гельфанд — Тестлина неразложимого представления с размерностью дается комплексными сферическими гармониками. Для оставшейся классической группы , разветвление больше не является однозначным, так что если V и W — неразложимые представления и , то пространство интервингеров может иметь размерность больше единицы. Оказывается, что янгиан, алгебра Хопфа, введенная Людвигом Фадеевым и его коллегами, действует неприводимо на этом пространстве кратностей, что позволило расширить построение базисов Гельфанд — Цетлина на .
For the remaining classical group , the branching is no longer multiplicity free, so that if V and W are irreducible representation of and the space of intertwiners can have dimension greater than one. It turns out that the Yangian , a Hopf algebra introduced by Ludwig Faddeev and collaborators, acts irreducibly on this multiplicity space, a fact which enabled to extend the construction of Gelfand–Tsetlin bases to .
Теорема Клиффорда
В 1937 году Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений от группы G до нормальной подгруппы N конечного индекса:
Теорема. Пусть : G → GL(n,K) – неприводимое представление, где K – поле. Тогда ограничение этого представления до N распадается в прямую сумму неприводимых представлений N одинаковой размерности. Эти неприводимые представления N лежат на одной орбите при действии G посредством сопряжения на классах эквивалентности неприводимых представлений N. В частности, число различных слагаемых не превосходит индекса N в G.
the restriction of to N breaks up into a direct sum of irreducible representations of N of equal dimensions. These irreducible representations of N lie in one orbit for the action of G by conjugation on the equivalence classes of irreducible representations of N. In particular the number of distinct summands is no greater than the index of N in G.
Двадцать лет спустя Джордж Макки нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарных представлений локально компактных групп на замкнутые нормальные подгруппы, что получило название "машина Макки" или "анализ нормальных подгрупп Макки".
Абстрактная алгебраическая настройка
С точки зрения теории категорий, ограничение является примером забывающего функтора. Этот функтор точен, а его левый сопряжённый функтор называется индукцией. Связь между ограничением и индукцией в различных контекстах называется взаимностью Фробениуса. Вместе операции индукции и ограничения образуют мощный инструментарий для анализа представлений. Это особенно актуально, когда представления обладают свойством полной приводимости, например, в теории представлений конечных групп над полем характеристики ноль.
Обобщения
Это довольно очевидное построение можно расширить множеством важных способов. Например, вместо отображения включения можно взять любой групповой гомоморфизм φ из H в G и определить редуцированное представление H посредством композиции.
Мы также можем применить эту идею к другим категориям в абстрактной алгебре: ассоциативным алгебрам, кольцам, алгебрам Ли, супералгебрам Ли, алгебрам Хопфа и другим. Представления или модули ограничиваются подобъектами или посредством гомоморфизмов.