Кіріспе

3-көптік, S³-тің Z/p әрекеттері арқылы алынған бөліндісі: (z,w) ↦ (exp(2πi/p)z, exp(2πiq/p)w)

Линза кеңістігі – математикада қарастырылатын топологиялық кеңістіктің мысалы. Бұл термин көбінесе 3-көптүрліліктердің нақты бір класына қатысты, бірақ жалпы алғанда жоғары өлшемдер үшін де анықталуы мүмкін. 3-көптік жағдайында линза кеңістігін екі қатты торды олардың шекараларының гомеоморфизмі арқылы біріктіру нәтижесінде көруге болады. Көбінесе 3-сфера және , екеуі де жоғарыда көрсетілгендей алынады, тривиальды ерекше жағдайлар ретінде қарастырылмайды. Үш өлшемді линза кеңістіктерін 1908 жылы Генрих Тиеце енгізді. Олар гомологиясы мен негізгі тобы ғана оларды анықтамайтын 3-көптүрліліктердің алғашқы белгілі мысалдары болды, сондай-ақ гомеоморфизм типі гомотопия типімен анықталмайтын жабық көптүрліліктердің ең қарапайым мысалдары еді. 1919 жылы Дж. В. Александр линза кеңістіктері мен гомеоморфты емес екенін көрсетті, тіпті олардың изоморфты негізгі топтары мен бірдей гомологиясы болса да, олардың гомотопиялық типі бірдей емес. Басқа линза кеңістіктері (мысалы, және ) тіпті бірдей гомотопиялық типке (және демек, изоморфты негізгі топтар мен гомологияға) ие, бірақ бірдей гомеоморфизм типіне ие емес; оларды алгебралық топологиядан ерекшеленетін көптүрліліктердің геометриялық топологиясының бастауы деп қарастыруға болады. Үш өлшемді линза кеңістіктерінің негізгі тобы мен Рейдемейстер бұрылысы бойынша толық жіктемесі бар.

Қасиеттері

Барлық линзалық кеңістіктердің негізгі тобы линзалық кеңістіктерге тәуелді емес. Линзалық кеңістіктер жергілікті симметриялық кеңістіктер болып табылады, бірақ (толық) симметриялық емес, оның симметриялық екенінен басқа. (Жергілікті симметриялық кеңістіктер – тұрақты нүктелері жоқ изометрия арқылы бөлінген симметриялық кеңістіктер; линзалық кеңістіктер осы анықтамаға сай келеді.)

Үш өлшемді линзалар кеңістігінің баламалы анықтамасы

Үш өлшемді линза кеңістігі көбінесе келесі сәйкестендіру арқылы қатты шар ретінде анықталады: біріншіден, қатты шардың экваторындағы тең арақашықтықтағы p нүктелерін белгілеңіз, оларды -ден дейін белгілеңіз, содан кейін шардың шекарасында солтүстік және оңтүстік полюске жалғайтын геодезиялық сызықтар салыңыз. Енді шар тәрізді үшбұрыштарды солтүстік полюсті оңтүстік полюске және нүктелерді -ді -мен, ал -ді -мен сәйкестендіру арқылы анықтаңыз. Соның нәтижесінде алынған кеңістік линза кеңістігіне гомеоморфты болады. Тағы бір байланысты анықтама – қатты шарды келесі қатты бипирамида ретінде қарастыру: жазық тұрақты p қабырғалы көпбұрыш салыңыз. Екі нүкте n және s-ті көпбұрыштың ортасынан тікелей жоғары және төмен орналастырыңыз. Бипирамиданы тұрақты p қабырғалы көпбұрыштың әр нүктесін n және s-ке қосу арқылы құрастырыңыз. Бипирамиданы толықтырып, оны қатты етіп толтырыңыз және шекарадағы үшбұрыштарды жоғарыда көрсетілгендей сәйкестендіріңіз.