Введение
3-многообразие, являющееся фактор-пространством S³ по действию ℤ/p: (z,w) ↦ (exp(2πi/p)z, exp(2πiq/p)w)
Линзовое пространство — это пример топологического пространства, рассматриваемого в математике. Этот термин часто относится к определенному классу 3-многообразий, но в общем случае может быть определен и для более высоких размерностей. В случае 3-многообразий линзовое пространство можно представить как результат склеивания двух твердых торов по гомеоморфизму их границ. Часто 3-сферу и , которые также могут быть получены таким образом, не рассматривают, поскольку они считаются тривиальными частными случаями. Трехмерные линзовые пространства были введены Генрихом Тиетце в 1908 году. Они стали первыми известными примерами 3-многообразий, которые не определяются только своей гомологией и фундаментальной группой, и наиболее простыми примерами замкнутых многообразий, тип гомеоморфизма которых не определяется их типом гомотопии. В 1919 году Дж. В. Александр показал, что линзовые пространства и не гомеоморфны, хотя они имеют изоморфные фундаментальные группы и одинаковую гомологию, но различный тип гомотопии. Другие линзовые пространства (например, и ) имеют даже одинаковый тип гомотопии (и, следовательно, изоморфные фундаментальные группы и гомологию), но различный тип гомеоморфизма; их можно считать началом геометрической топологии многообразий, отличной от алгебраической топологии. Существует полная классификация трехмерных линзовых пространств по фундаментальной группе и кручению Ридемейстера.
Свойства
Фундаментальная группа всех линзовых пространств не зависит от их параметров. Линзовые пространства являются локально симметричными пространствами, но не (полностью) симметричными, за исключением тех, которые симметричны. (Локально симметричные пространства – это симметричные пространства, полученные факторизацией по изометрии, не имеющей неподвижных точек; линзовые пространства удовлетворяют этому определению.)
Lens spaces are locally symmetric spaces, but not (fully) symmetric, with the exception of which is symmetric. (Locally symmetric spaces are symmetric spaces that are quotiented by an isometry that has no fixed points; lens spaces meet this definition.)
Альтернативные определения трехмерных линзовых пространств
Трехмерное пространство линзы часто определяется как твердый шар со следующей идентификацией: сначала отметьте p равноудаленных точек на экваторе твердого шара, обозначьте их от до , затем на границе шара проведите геодезические линии, соединяющие эти точки с северным и южным полюсами. Далее отождествите сферические треугольники, склеив северный полюс с южным полюсом, а точки с и с . Полученное пространство гомеоморфно пространству линзы . Другое связанное определение состоит в том, чтобы рассматривать твердый шар как следующую твердую бипирамиду: постройте плоский правильный p-угольник. Разместите две точки n и s непосредственно над и под центром многоугольника. Постройте бипирамиду, соединив каждую точку правильного p-угольника с точками n и s. Заполните бипирамиду, чтобы она стала твердой, и наложите на треугольники на границе ту же идентификацию, как описано выше.
Another related definition is to view the solid ball as the following solid bipyramid: construct a planar regular p sided polygon. Put two points n and s directly above and below the center of the polygon. Construct the bipyramid by joining each point of the regular p sided polygon to n and s. Fill in the bipyramid to make it solid and give the triangles on the boundary the same identification as above.