Кіріспе
Бірінші реттік квазисызықты қарапайым дифференциалдық теңдеу
Классикалық механикада Эйлердің айналу теңдеулері – бұрыштық жылдамдығы ω болатын, дененің өсіне бекітілген айналмалы координатты жүйеде қатты дененің айналуын сипаттайтын векторлық бірінші реттік квазисызықты қарапайым дифференциалдық теңдеу. Олардың жалпы векторлық түрі:
мұнда M – қолданылатын моменттердің векторы, ал I – инерция матрицасы. Вектор – бұрыштық үдеу. Еске сала кетейік, барлық шамалар айналмалы координатты жүйеде анықталған. Инерцияның бас осі бойынша координаталарда теңдеулер келесідей болады:
мұнда Mk – қолданылатын моменттердің құраушылары, Ik – инерцияның бас моменттері және ωk – бұрыштық жылдамдықтың құраушылары. Егер қолданылатын моменттер болмаса, Эйлердің жоғарғы жағын (Euler top) аламыз. Егер моменттер гравитациядан туындаса, онда жоғарғы жақтың қозғалысы интегралданатын ерекше жағдайлар болады.
Негізгі осьтер нысаны
Фреймді таңдағанда оның өсі инерция тензорының басты өсімен сәйкес келгенде, оның компоненттік матрицасы диагональды болады, бұл есептеулерді одан әрі жеңілдетеді. Инерция моменты туралы мақалада сипатталғандай, бұрыштық импульс L мына түрде жазылуы мүмкін. Сонымен қатар, денеге байланысты емес кейбір фреймдерде бұрыштық импульстың өзгеру жылдамдығы үшін де осындай қарапайым (диагональды тензор) теңдеулер алуға болады. Онда ω дененің айналуының орнына, сол фреймнің өсінің айналу бұрыштық жылдамдығы болуы керек. Дегенмен, таңдалған өстер инерцияның басты өстері болып қалуы тиіс. Ойлер айналу теңдеулерінің алынған түрі, айналу симметриялы денелер үшін пайдалы, олардың басты айналу өстерінің кейбірін еркін таңдауға мүмкіндік береді.
Also in some frames not tied to the body can it be possible to obtain such simple (diagonal tensor) equations for the rate of change of the angular momentum. Then ω must be the angular velocity for rotation of that frames axes instead of the rotation of the body. It is however still required that the chosen axes are still principal axes of inertia. The resulting form of the Euler rotation equations is useful for rotation symmetric objects that allow some of the principal axes of rotation to be chosen freely.
Моментсіз прецессиялар
Момент күші жоқ прецессиялар – бұл оң жақтағы момент күші нөлге тең болатын жағдай үшін тривиальды емес шешім. Егер I сыртқы анықтамалық жүйеде тұрақты болмаса (яғни, дене қозғалып тұрса және оның инерция тензоры үнемі диагональды болмаса), онда L-ге әсер ететін туынды операторы арқылы I-ді шығаруға болмайды. Бұл жағдайда I(t) және ω(t) бірге өзгеріп, олардың көбейтіндісінің туындысы нөлге тең болып қалады. Бұл қозғалысты Пуансоның құрылымы арқылы көруге болады.
Жалпыланған Эйлер теңдеулері
Эйлер теңдеулерін кез келген қарапайым Ли алгебрасына жалпылауға болады. Алғашқы Эйлер теңдеулері Ли алгебрасын , генераторлармен қанағаттандыратын қатынасқа ие болу арқылы туындайды. Егер (базалық векторлармен шатастырмау үшін уақыт координатасы) уақытқа тәуелді функция болса және (Ли алгебрасының негізіне қатысты), онда (моментсіз) алғашқы Эйлер теңдеулерін былай жазуға болады. -ны негізден тәуелсіз түрде анықтау үшін, ол Ли алгебрасының инвариантты екі сызықты формасына қатысты өзіне-өзі қосымша карта болуы керек. Бұл өрнек кез келген қарапайым Ли алгебрасына оңай жалпыланады, мысалы, қарапайым Ли алгебраларының стандартты жіктелуінде. Бұл сондай-ақ жалпыланған Эйлер теңдеулерінің Лакс жұптық формасы ретінде қарастырылуы мүмкін, бұл олардың интегралдануын көрсетеді.
To define in a basis independent way, it must be a self adjoint map on the Lie algebra with respect to the invariant bilinear form on This expression generalizes readily to an arbitrary simple Lie algebra, say in the standard classification of simple Lie algebras. This can also be viewed as a Lax pair formulation of the generalized Euler equations, suggesting their integrability.