Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Квазилинейное обычное дифференциальное уравнение первого порядка
Quasilinear first order ordinary differential equation
В классической механике уравнения вращения Эйлера представляют собой векторное квазилинейное обычное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее вращение твёрдого тела в системе отсчёта, вращающейся с угловой скоростью ω, оси которой жёстко связаны с телом. Их общая векторная форма имеет вид
In classical mechanics, Euler's rotation equations are a vectorial quasilinear first order ordinary differential equation describing the rotation of a rigid body, using a rotating reference frame with angular velocity ω whose axes are fixed to the body. Their general vector form is
где M — приложенные моменты сил, а I — матрица инерции. Вектор — угловое ускорение. Следует отметить, что все величины определены в вращающейся системе отсчёта. В ортогональной системе главных осей инерции уравнения принимают вид
where M is the applied torques and I is the inertia matrix. The vector is the angular acceleration. Again, note that all quantities are defined in the rotating reference frame. In orthogonal principal axes of inertia coordinates the equations become
где Mk — компоненты приложенных моментов сил, Ik — главные моменты инерции, а ωk — компоненты угловой скорости. При отсутствии приложенных моментов сил получается вращающийся твёрдый объект (Эйлеров волчок). Когда моменты сил обусловлены гравитацией, существуют особые случаи, когда движение волчка интегрируемо.
where Mk are the components of the applied torques, Ik are the principal moments of inertia and ωk are the components of the angular velocity. In the absence of applied torques, one obtains the Euler top. When the torques are due to gravity, there are special cases when the motion of the top is integrable.
Форма основных осей
При выборе системы координат, так что ее оси выровнены с главными осями тензора инерции, ее матрица компонент становится диагональной, что еще больше упрощает вычисления. Как описано в статье о моменте инерции, угловой момент L тогда можно записать.
When choosing a frame so that its axes are aligned with the principal axes of the inertia tensor, its component matrix is diagonal, which further simplifies calculations. As described in the moment of inertia article, the angular momentum L can then be written
Также в некоторых системах координат, не связанных с телом, возможно получить такие простые (диагональные тензорные) уравнения для скорости изменения углового момента. В этом случае ω должна быть угловой скоростью вращения осей этой системы координат, а не вращения тела. Однако все равно требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Полученная форма уравнений Эйлера полезна для объектов с осевой симметрией, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.
Also in some frames not tied to the body can it be possible to obtain such simple (diagonal tensor) equations for the rate of change of the angular momentum. Then ω must be the angular velocity for rotation of that frames axes instead of the rotation of the body. It is however still required that the chosen axes are still principal axes of inertia. The resulting form of the Euler rotation equations is useful for rotation symmetric objects that allow some of the principal axes of rotation to be chosen freely.
Прецессии без крутящего момента
Прецессии без момента силы являются нетривиальным решением для случая, когда момент силы в правой части равен нулю. Если момент инерции I не является постоянным во внешней системе отсчета (то есть тело движется, и его тензор инерции не остается постоянно диагональным), то I нельзя вынести за знак производной, действующей на L. В этом случае I(t) и ω(t) изменяются согласованно, так что производная их произведения остается равной нулю. Это движение можно визуализировать с помощью построения Понсо.
Torque free precessions are non trivial solution for the situation where the torque on the right hand side is zero. When I is not constant in the external reference frame (i. e. the body is moving and its inertia tensor is not constantly diagonal) then I cannot be pulled through the derivative operator acting on L. In this case I(t) and ω(t) do change together in such a way that the derivative of their product is still zero. This motion can be visualized by Poinsot's construction.
Обобщенные уравнения Эйлера
Уравнения Эйлера могут быть обобщены на любую простую алгебру Ли. Исходные уравнения Эйлера получаются при фиксировании алгебры Ли в , с генераторами, удовлетворяющими соотношению Тогда, если (где – координата времени, которую не следует путать с базисными векторами) является функцией, принимающей значения в , а (относительно базиса алгебры Ли), то (незатухающие) исходные уравнения Эйлера могут быть записаны в виде
The Euler equations can be generalized to any simple Lie algebra. The original Euler equations come from fixing the Lie algebra to be , with generators satisfying the relation Then if (where is a time coordinate, not to be confused with basis vectors ) is an valued function of time, and (with respect to the Lie algebra basis), then the (untorqued) original Euler equations can be written
Для определения независимым от базиса способом, оно должно быть самосопряжённым отображением на алгебре Ли относительно инвариантной билинейной формы на . Это выражение легко обобщается на произвольную простую алгебру Ли, например, в стандартной классификации простых алгебр Ли. Это также можно рассматривать как формулировку пары Лакса для обобщённых уравнений Эйлера, что указывает на их интегрируемость.
To define in a basis independent way, it must be a self adjoint map on the Lie algebra with respect to the invariant bilinear form on This expression generalizes readily to an arbitrary simple Lie algebra, say in the standard classification of simple Lie algebras. This can also be viewed as a Lax pair formulation of the generalized Euler equations, suggesting their integrability.