Кіріспе
Математикада, m-көптік M-нің тұтқалық ыдырауы – бұл
тұтқаларды қосу арқылы әрқайсысы алынатын одақ. Тұтқалық ыдырау көптік үшін, CW ыдырауы топологиялық кеңістік үшін не болса, сондай – көптеген жағдайларда тұтқалық ыдыраудың мақсаты CW кешендеріне ұқсас, бірақ тегіс көптіктер әлеміне бейімделген тілді құру. Осылайша, i тұтқасы i ұяшығының тегіс аналогы болып табылады. Көптіктердің тұтқалық ыдыраулары Морс теориясы арқылы табиғи түрде туындайды. Тұтқалық құрылымдарды өзгерту Серф теориясымен тығыз байланысты.
Мотивация
Бір нөлдік жасушаны және бір ғана n жасушаны қамтитын n сфераның стандартты CW ыдырауын қарастырайық. Тегіс көптүрліліктер тұрғысынан алғанда, бұл сфераның дегенеративті ыдырауы, себебі бұл ыдыраудан сфераның тегіс құрылымын табиғи түрде көруге болмайды. Атап айтқанда, 0 жасушасының маңындағы тегіс құрылым, сипаттамалық картаның жанындағы мінез-құлқына байланысты. CW ыдырауларындағы мәселе – жасушаларға арналған жапсыру карталары, көптүрліліктер арасындағы тегіс карталар әлемінде өмір сүрмейді. Бұл кемшілікті түзетуге қатысты түйінді түсінік – түйіндік көршілік теоремасы. М көптүрлілігіндегі p нүктесі үшін, оның жабық түйіндік көршілігі , диффеоморфты, сондықтан М-ді олардың ортақ шекарасы бойынша бірікпеген жиынға бөлуге болады. Мұндағы маңызды мәселе – жапсыру картасы диффеоморфизм болып табылады. Сол сияқты, ішінде тегіс енгізілген доғаны қарастырайық, оның түйіндік көршілігі диффеоморфты болады. Бұл бізге үш көптүрліліктің жиыны ретінде жазуға мүмкіндік береді, олардың шекараларының бөліктері бойынша жабысқан: 1) 2) және 3) доғаның ашық түйіндік көршілігінің толықтырғышы. Барлық жапсыру карталары тегіс карталар болып табылады – атап айтқанда, жабыстырғанда, теңдестік қатынасы түйіндік көршілік теоремасымен тегіс анықталады. Тұтқалық ыдырауды Стивен Смейл ойлап тапқан. Оның бастапқы тұжырымында, m көптүрлігі M-ге j тұтқасын қосу процесінде, тегіс енгізілуі бар деп есептеледі. Көптүрлілік (сөздермен айтқанда, M, f арқылы j тұтқаны біріктіру) – және оның ішіндегі бейнесімен сәйкестендірілуінің бірікпеген жиыны, яғни, барлық үшін теңдестік қатынасымен анықталады. Көптүрлілік N, егер M-нің шекті саны j тұтқаларымен бірігуі N-ге диффеоморфты болса, M-ден j тұтқаларын қосу арқылы алынған деп айтылады. Тұтқалық ыдыраудың анықтамасы кіріспеде келтірілгендей. Осылайша, егер көптүрлілік ажыратылған шарлардың жиынына диффеоморфты болса, онда ол тек 0 тұтқаларынан тұратын тұтқалық ыдырауға ие. Тек екі типті тұтқаларды қамтитын (яғни, 0 тұтқалары және белгілі бір j үшін j тұтқалары) байланысты көптүрлілік тұтқалы дене деп аталады.
The problem with CW decompositions is that the attaching maps for cells do not live in the world of smooth maps between manifolds. The germinal insight to correct this defect is the tubular neighbourhood theorem. Given a point p in a manifold M, its closed tubular neighbourhood is diffeomorphic to , thus we have decomposed M into the disjoint union of and glued along their common boundary. The vital issue here is that the gluing map is a diffeomorphism. Similarly, take a smooth embedded arc in , its tubular neighbourhood is diffeomorphic to This allows us to write as the union of three manifolds, glued along parts of their boundaries: 1) 2) and 3) the complement of the open tubular neighbourhood of the arc in Notice all the gluing maps are smooth maps—in particular when we glue to the equivalence relation is generated by the embedding of in , which is smooth by the tubular neighbourhood theorem. Handle decompositions are an invention of Stephen Smale. In his original formulation, the process of attaching a j handle to an m manifold M assumes that one has a smooth embedding of Let The manifold (in words, M union a j handle along f ) refers to the disjoint union of and with the identification of with its image in , i. e.,
where the equivalence relation is generated by for all
One says a manifold N is obtained from M by attaching j handles if the union of M with finitely many j handles is diffeomorphic to N. The definition of a handle decomposition is then as in the introduction. Thus, a manifold has a handle decomposition with only 0 handles if it is diffeomorphic to a disjoint union of balls. A connected manifold containing handles of only two types (i. e.: 0 handles and j handles for some fixed j) is called a handlebody.
Кейбір негізгі теоремалар мен байқаулар
Ашық, бағытталған 3-көптіктің Хигаард бөлінісі — бұл 3-көптіктің екі (3,1) тұтқаның ортақ шекарасы бойынша бірігуіне ыдырауы, бұл Хигаард бөліну беті деп аталады. Хигаард бөліністері 3-көптіктерде бірнеше табиғи жолмен туындайды: 3-көптіктің тұтқалық декомпозициясы берілгенде, 0 және 1 тұтқалардың бірігуі (3,1) тұтқа болып табылады, ал 3 және 2 тұтқалардың бірігуі де (3,1) тұтқа болып табылады (қос декомпозиция тұрғысынан), демек, Хигаард бөлінісі. Егер 3-көптік T триангуляциясына ие болса, онда бірінші (3,1) тұтқа денесі 1-скелеттің тұрақты маңы, ал екінші (3,1) тұтқа денесі қос 1-скелеттің тұрақты маңы болатын индукцияланған Хигаард бөлінісі болады. Екі тұтқаны тізбектей қосса, қосылу ретін ауыстыруға болады, егер , яғни: бұл көптік сәйкес келетін қосылу карталары үшін түріндегі көптікке диффеоморфты. -ның шекарасы шеңберленген сфера бойынша хирургияланған -ға диффеоморфты. Бұл хирургия, тұтқалар және Морзе функциялары арасындағы негізгі байланыс. Салдарынан, m-көптік M, егер және тек қана M-ді -дағы шеңберленген сілтемелерге хирургия жасау арқылы алуға болса, m+1-көптік W-нің шекарасы болып табылады. Мысалы, әрбір 3-көптік 4-көптікке (бірдей бағытталған және спин 3-көптіктерге сәйкес бағытталған және спин 4-көптіктерге) байланысты екені белгілі. Бұл Рене Томның кобордизм туралы жұмысына байланысты. Осылайша, әрбір 3-көптік 3-сферадағы шеңберленген сілтемелерге хирургия жасау арқылы алынуы мүмкін. Бағытталған жағдайда, бұл шеңберлі сілтемені шеңберлердің бірікпеген жиынының шеңберлі енгізіліміне дейін азайтуға болады. H кобордизм теоремасы тегіс көптіктердің тұтқалық декомпозицияларын оңайлату арқылы дәлелденеді.