Введение
В математике, разложение многообразия M на «ручки» — это объединение
где каждый из них получается прикреплением «ручек». Разложение на «ручки» для многообразия аналогично разложению CW для топологического пространства — во многих отношениях цель разложения на «ручки» состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий. Таким образом, «ручка» i является гладким аналогом i-клетки. Разложения многообразий на «ручки» возникают естественным образом в рамках теории Морса. Модификация структур «ручек» тесно связана с теорией Серфа.
Мотивация
Рассмотрим стандартное CW-разложение n-сферы, с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий, это вырожденное разложение сферы, поскольку нет естественного способа увидеть гладкую структуру из перспективы этого разложения — в частности, гладкая структура в окрестности 0-ячейки зависит от поведения характеристической карты в окрестности . Проблема с CW-разложениями заключается в том, что прикрепляющие отображения для ячеек не определены в терминах гладких отображений между многообразиями. Ключевая идея, позволяющая исправить этот недостаток, — это теорема о трубчатой окрестности. Для любой точки p в многообразии M её замкнутая трубчатая окрестность диффеоморфна , таким образом, мы разложили M на непересекающееся объединение и склеили их вдоль общей границы. Важный момент здесь заключается в том, что отображение склеивания является диффеоморфизмом. Аналогично, возьмем гладкую вложенную дугу в , её трубчатая окрестность диффеоморфна . Это позволяет нам записать как объединение трех многообразий, склеенных вдоль частей их границ: 1) , 2) и 3) дополнение открытой трубчатой окрестности дуги в . Обратите внимание, что все отображения склеивания являются гладкими — в частности, при склеивании к отношение эквивалентности порождается вложением в , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности. Разложения на ручки — изобретение Стивена Смейла. В его первоначальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает наличие гладкого вложения Пусть многообразие (в терминах, M объединение j-ручки вдоль f) обозначает непересекающееся объединение и с отождествлением с его образом в , то есть, где отношение эквивалентности порождается для всех . Говорят, что многообразие N получено из M путем присоединения j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Определение разложения на ручки, таким образом, соответствует определению, данному во введении. Следовательно, многообразие имеет разложение на ручки, состоящее только из 0-ручек, если оно диффеоморфно непересекающемуся объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j), называется телом ручки.
The problem with CW decompositions is that the attaching maps for cells do not live in the world of smooth maps between manifolds. The germinal insight to correct this defect is the tubular neighbourhood theorem. Given a point p in a manifold M, its closed tubular neighbourhood is diffeomorphic to , thus we have decomposed M into the disjoint union of and glued along their common boundary. The vital issue here is that the gluing map is a diffeomorphism. Similarly, take a smooth embedded arc in , its tubular neighbourhood is diffeomorphic to This allows us to write as the union of three manifolds, glued along parts of their boundaries: 1) 2) and 3) the complement of the open tubular neighbourhood of the arc in Notice all the gluing maps are smooth maps—in particular when we glue to the equivalence relation is generated by the embedding of in , which is smooth by the tubular neighbourhood theorem. Handle decompositions are an invention of Stephen Smale. In his original formulation, the process of attaching a j handle to an m manifold M assumes that one has a smooth embedding of Let The manifold (in words, M union a j handle along f ) refers to the disjoint union of and with the identification of with its image in , i. e.,
where the equivalence relation is generated by for all
One says a manifold N is obtained from M by attaching j handles if the union of M with finitely many j handles is diffeomorphic to N. The definition of a handle decomposition is then as in the introduction. Thus, a manifold has a handle decomposition with only 0 handles if it is diffeomorphic to a disjoint union of balls. A connected manifold containing handles of only two types (i. e.: 0 handles and j handles for some fixed j) is called a handlebody.
Некоторые основные теоремы и наблюдения
Хигаардское разбиение замкнутого, ориентируемого 3-многообразия — это разложение 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел вдоль их общей границы, называемой поверхностью Хигаарда. Хигаардские разбиения возникают для 3-многообразий несколькими естественными способами: для заданного разложения на ручки 3-многообразия, объединение 0-й и 1-й ручек является (3,1)-телом, а объединение 3-й и 2-й ручек также является (3,1)-телом (с точки зрения двойственного разложения), таким образом, это Хигаардское разбиение. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, то существует индуцированное Хигаардское разбиение, где первое (3,1)-тело является регулярной окрестностью 1-скелета, а другое (3,1)-тело — регулярной окрестностью двойственного 1-скелета. При присоединении двух ручек последовательно, можно изменить порядок присоединения, при условии, то есть: это многообразие диффеоморфно многообразию вида для подходящих карт присоединения. Граница диффеоморфна вдоль хирургического разреза вдоль обрамленной сферы. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса. Как следствие, m-многообразие M является границей (m+1)-многообразия W тогда и только тогда, когда M можно получить из путем хирургии по коллекции обрамленных зацеплений в. Например, известно, что каждое 3-многообразие ограничивает 4-многообразие (аналогично, ориентированные и спиновые 3-многообразия ограничивают ориентированные и спиновые 4-многообразия соответственно) благодаря работам Рене Тома по кобордизму. Таким образом, каждое 3-многообразие можно получить хирургическим путем из обрамленных зацеплений в 3-сфере. В ориентированном случае обычно сводят это обрамленное зацепление к обрамленному вложению дизъюнктного объединения окружностей. Теорема H о кобордизме доказывается упрощением разложений на ручки гладких многообразий.