Кіріспе
Топологиялық кеңістік, әрбір нүктесінде саналатын көршілік негізі бар. Топологияда, математиканың бір саласы, бірінші саналатын кеңістік – "саналатындықтың бірінші аксиомасын" қанағаттандыратын топологиялық кеңістік. Атап айтқанда, егер әрбір нүктесінде саналатын көршілік негізі (жергілікті негіз) болса, онда кеңістік бірінші саналатын болады. Яғни, кез келген нүкте үшін, сол нүктенің көршіліктерінің тізбегі бар, осындай тізбек кез келген көршілігі үшін, сол көршілік ішінде қамтылған белгілі бір көршіліктің болуын қамтамасыз етеді. Кез келген нүктенің кез келген көршілігінде сол нүктенің ашық көршілігі бар болғандықтан, көршілік негізін ашық көршіліктерден құралған деп, жалпылықты жоғалтпай таңдауға болады.
In topology, a branch of mathematics, a first countable space is a topological space satisfying the "first axiom of countability". Specifically, a space is said to be first countable if each point has a countable neighbourhood basis (local base). That is, for each point in there exists a sequence of neighbourhoods of such that for any neighbourhood of there exists an integer with contained in
Since every neighborhood of any point contains an open neighborhood of that point, the neighbourhood basis can be chosen without loss of generality to consist of open neighborhoods.
Мысалдар мен қарсы мысалдар
Математикадағы "күнделікті" кеңістіктердің көпшілігі бірінші санаулы болады. Атап айтқанда, әрбір метрикалық кеңістік бірінші санаулы болады. Мұны көру үшін, бүтін сандар үшін радиусымен ортасы белгіленген ашық шарлар жиыны бірінші санаулы жергілікті база құрайтынын ескеріңіз. Бірінші санаулы емес кеңістікке мысал – санауға келмейтін жиынтақтағы кофиниттік топология (мысалы, нақты түзу). Жалпы алғанда, санауға келмейтін өріс үстіндегі алгебралық түрліліктің Зариски топологиясы бірінші санаулы емес. Тағы бір қарсы мысал – бірінші санауға келмейтін реттік сан болатын ординал кеңістігі . Элемент – элементтердің ешбір тізбегінің лиміті болмаса да, кіші жиынның лимиттік нүктесі болып табылады. Атап айтқанда, кеңістіктегі нүктеде бірінші санаулы жергілікті база жоқ. Алайда, осындай жалғыз нүкте болғандықтан, сол нүктенің асты кеңістігі бірінші санаулы болады. Нақты түзудегі натурал сандарды бір нүкте ретінде біріктіретін бөлік кеңістігі бірінші санаулы емес. Дегенмен, бұл кеңістік кез келген кіші жиын үшін және кіші жиын жабылуындағы әрбір элемент үшін A кеңістігіне жуықтайтын тізбекке ие. Мұндай тізбектік қасиетке ие кеңістік кейде Фреше–Урысон кеңістігі деп аталады. Бірінші санау, екінші санаудан қатаң нашар. Кез келген екінші санаулы кеңістік бірінші санаулы, бірақ кез келген санауға келмейтін дискретті кеңістік бірінші санаулы, бірақ екінші санаулы емес.
An example of a space that is not first countable is the cofinite topology on an uncountable set (such as the real line). More generally, the Zariski topology on an algebraic variety over an uncountable field is not first countable. Another counterexample is the ordinal space where is the first uncountable ordinal number. The element is a limit point of the subset even though no sequence of elements in has the element as its limit. In particular, the point in the space does not have a countable local base. Since is the only such point, however, the subspace is first countable. The quotient space where the natural numbers on the real line are identified as a single point is not first countable. However, this space has the property that for any subset and every element in the closure of there is a sequence in A converging to A space with this sequence property is sometimes called a Fréchet–Urysohn space. First countability is strictly weaker than second countability. Every second countable space is first countable, but any uncountable discrete space is first countable but not second countable.
Қасиеттері
Бірінші саналатын кеңістіктердің ең маңызды қасиеттерінің бірі – берілген жиынның нүктесі оның жабылуында жатады, егер және тек егер сол жиында оған жуысатын тізбек болса (басқаша айтқанда, әрбір бірінші саналатын кеңістік Фреше-Урисон кеңістігі және, демек, ретті кеңістік болып табылады). Бұл шектер мен үздіксіздікке қатысты салдарларға әкеледі. Атап айтқанда, егер функция бірінші саналатын кеңістікте анықталған болса, онда оның нүктеде шегі бар, егер және тек егер кез келген тізбек үшін, мұнда барлық үшін, шекке жуысатын болса. Сондай-ақ, егер функция бірінші саналатын кеңістікте анықталған болса, онда ол үздіксіз, егер және тек егер кез келген жағдайда .
Бірінші саналатын кеңістіктерде реттік тығыздық пен саналатын тығыздық эквивалентті қасиеттер болып табылады. Алайда, реттік тығыз, бірінші саналатын, бірақ тығыз емес кеңістіктердің мысалдары бар (олар міндетті түрде метрикаланатын кеңістіктер емес). Мұндай кеңістіктердің бірі – ординал кеңістік. Әрбір бірінші саналатын кеңістік тығыздықпен туындайды. Бірінші саналатын кеңістіктің кез келген ішкі кеңістігі бірінші саналатын болып табылады. Бірінші саналатын кеңістіктің кез келген саналатын көбейтіндісі бірінші саналатын болады, бірақ санауға болмайтын көбейтінділердің де болуы мүмкін.