Введение

Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетное локальное базис окрестностей. В топологии, ветви математики, первое счетное пространство — это топологическое пространство, удовлетворяющее "первой аксиоме счетности". В частности, пространство называется первым счетным, если для каждой его точки существует счетная база окрестностей (локальный базис). То есть, для каждой точки x в пространстве X существует последовательность {U_n} окрестностей точки x такая, что для любой окрестности V точки x существует целое число n, для которого U_n содержится в V. Поскольку каждая окрестность любой точки содержит открытую окрестность этой точки, локальный базис окрестностей можно без потери общности выбрать, состоящим из открытых окрестностей.

Примеры и контрпримеры

Большинство "обычных" пространств в математике являются первым счётным. В частности, каждое метрическое пространство является первым счётным. Чтобы увидеть это, заметим, что множество открытых шаров с центром в точке и радиусом для целых чисел образует счётную локальную базу в точке .

Примером пространства, не являющегося первым счётным, является кофинитная топология на несчётном множестве (например, на вещественной прямой). В более общем случае, топология Зариски на алгебраическом многообразии над несчётным полем не является первым счётной. Другой контрпример — ординарное пространство , где — первое несчётное порядковое число. Элемент является предельной точкой подмножества , хотя ни одна последовательность элементов в не имеет элемента в качестве своего предела. В частности, точка в пространстве не имеет счётной локальной базы. Однако, поскольку это единственная такая точка, подпространство является первым счётным. Факторпространство, где натуральные числа на вещественной прямой отождествляются в одну точку, не является первым счётным. Однако это пространство обладает свойством, что для любого подмножества и каждого элемента в замыкании этого подмножества существует последовательность в , сходящаяся к этому элементу. Пространство с таким свойством последовательности иногда называют пространством Фреше — Урысона. Первая счётность строго слабее второй счётности. Каждое второе счётное пространство является первым счётным, но любое несчётное дискретное пространство является первым счётным, но не вторым счётным.

Свойства

Одно из наиболее важных свойств первых счётных пространств заключается в том, что для данного подмножества точка лежит в замыкании этого подмножества тогда и только тогда, когда существует последовательность в этом подмножестве, сходящаяся к этой точке (иными словами, каждое первое счётное пространство является пространством Фреше-Урысона и, следовательно, также последовательным пространством). Это имеет последствия для пределов и непрерывности. В частности, если f – функция на первом счётном пространстве, то f имеет предел в точке x, если и только если для каждой последовательности {x_n}, где x_n → x, выполняется f(x_n) → f(x). Также, если f – функция на первом счётном пространстве, то f непрерывна, если и только если для любого x, если x_n → x, то f(x_n) → f(x).

В первых счётных пространствах последовательная компактность и счётная компактность являются эквивалентными свойствами. Однако существуют примеры последовательно компактных, первых счётных пространств, которые не являются компактными (эти пространства не обязательно метризуемы). Одним из таких пространств является ординальное пространство. Каждое первое счётное пространство компактно порождено. Каждое подпространство первого счётного пространства является первым счётным. Любое счётное произведение первого счётного пространства является первым счётным, хотя несчётные произведения не обязаны быть таковыми.