Кіріспе
Математикалық функция класы. Математикада функция супермодульді деп аталады, егер кез келген үшін , , мұндағы компоненттік максимумты, ал - компоненттік минимумды білдіреді және егер -f супермодульді болса, онда f субмодульді деп аталады, ал егер теңсіздік теңдікке ауыстырылса, функция модульді болады. Егер f екі рет үздіксіз дифференциалданатын болса, онда супермодулярлық келесі шартқа тең болады: .
In mathematics, a function
is supermodular if
for all , , where denotes the componentwise maximum and the componentwise minimum of and
If −f is supermodular then f is called submodular, and if the inequality is changed to an equality the function is modular. If f is twice continuously differentiable, then supermodularity is equivalent to the condition
Экономика және ойын теориясындағы супермодулярлық
Супермодулярлық ұғымы әлеуметтік ғылымдарда бір агенттің шешімінің басқалардың ынталандыруына қалай әсер ететінін талдау үшін қолданылады. Екі немесе одан да көп ойыншылардың әрекеттері бойынша анықталатын тегіс сыйақы функциясы бар симметриялық ойынды қарастырайық. Іс-қимыл кеңістігі үздіксіз деп есептейік; қарапайымдық үшін, әрбір іс-қимыл аралықтан таңдалады делік: Бұл жағдайда, супермодулярлықтың болуы барлық ойыншылардың таңдауын ұлғайту барлық басқа ойыншылардың іс-қимылының шекті сыйақысын арттырады дегенді білдіреді. Яғни, егер кез келген ойыншы жоғарырақ таңдау жасаса, барлық басқа ойыншылар да өз таңдауларын көтеруге ынталандырылады. Булоу, Геанакоплос және Клемперердің (1985) терминологиясына сәйкес, экономистер бұл жағдайды стратегиялық толықтыру деп атайды, себебі ойыншылардың стратегиялары бір-бірін толықтырады. Бұл үйлестіру ойындарындағы көптеген тепе-теңдіктердің негізгі қағидасы болып табылады. Супермодулярлыққа қарама-қарсы жағдай, яғни субмодулярлық, стратегиялық алмастыру жағдайына сәйкес келеді. Таңдаудың ұлғаюы барлық басқа ойыншылардың таңдауларына шекті сыйақыны төмендетіп, стратегияларды алмастырады. Яғни, егер бір ойыншы жоғарырақ таңдау жасаса, басқа ойыншылар төменрек таңдау жасауға ынталандырылады. Мысалы, Булоу және тағы басқалар көптеген толық емес бәсекелестік фирмалардың өзара әрекеттесуін қарастырады. Егер бір фирманың өндірісін арттыру басқа фирмалардың шекті кірісін арттырса, өндіріс шешімдері стратегиялық толықтыру болып табылады. Егер бір фирманың өндірісін арттыру басқа фирмалардың шекті кірісін төмендетсе, өндіріс шешімдері стратегиялық алмастыру болып табылады. Супермодульді пайдалы функция көбінесе толықтыратын тауарлармен байланысты. Алайда, бұл көзқарас даулы.
For example, Bulow et al. consider the interactions of many imperfectly competitive firms. When an increase in output by one firm raises the marginal revenues of the other firms, production decisions are strategic complements. When an increase in output by one firm lowers the marginal revenues of the other firms, production decisions are strategic substitutes. A supermodular utility function is often related to complementary goods. However, this view is disputed.