Кіріспе
Топологиялық кеңістік шеңберлердің бірігісімен анықталады. Математикада Гавайи сақинасы – Эвклид жазықтығындағы шеңберлердің бірігісімен анықталатын топологиялық кеңістік, оның орталығы және радиусы субкеңістік топологиясымен берілген:
In mathematics, the Hawaiian earring is the topological space defined by the union of circles in the Euclidean plane with center and radius for endowed with the subspace topology:
The space is homeomorphic to the one point compactification of the union of a countable family of disjoint open intervals. The Hawaiian earring is a one dimensional, compact, locally path connected metrizable space. Although is locally homeomorphic to at all non origin points, is not semi locally simply connected at Therefore, does not have a simply connected covering space and is usually given as the simplest example of a space with this complication. The Hawaiian earring looks very similar to the wedge sum of countably infinitely many circles; that is, the rose with infinitely many petals, but these two spaces are not homeomorphic. The difference between their topologies is seen in the fact that, in the Hawaiian earring, every open neighborhood of the point of intersection of the circles contains all but finitely many of the circles (an ε ball around (0, 0) contains every circle whose radius is less than ε/2); in the rose, a neighborhood of the intersection point might not fully contain any of the circles. Additionally, the rose is not compact: the complement of the distinguished point is an infinite union of open intervals; to those add a small open neighborhood of the distinguished point to get an open cover with no finite subcover.
Кеңістік саналатын отбасының бірігісінің бір нүктелік тығыздалуымен үйлесімді. Гавайи сақинасы – бір өлшемді, тығыз, жергілікті жолмен байланысты және метрикалық кеңістік. барлық нөлден өзгеше нүктелерде жергілікті түрде гомеоморфты болғанымен, ол жартылай жергілікті жай байланысты емес. Сондықтан, жай байланысқан жабу кеңістігі жоқ және әдетте осы қиындықпен кеңістіктің ең қарапайым мысалы ретінде келтіріледі. Гавайи сақинасы санауға болатын шексіз көп шеңберлердің клиндік қосындысына өте ұқсас көрінеді; яғни, шексіз көп жапырақтары бар гүл, бірақ бұл екі кеңістік үйлесімді емес. Олардың топологиялары арасындағы айырмашылық мынада: Гавайи сақинасында шеңберлердің қиылысу нүктесінің әрбір ашық маңындағы барлық шеңберлер (0, 0 төңірегіндегі ε шар радиусы ε/2-ден кіші барлық шеңберлерді қамтиды); ал гүлде қиылысу нүктесінің маңындағы шеңберлердің ешқайсысы толық қамтылмауы мүмкін. Сонымен қатар, гүл тығыз емес: ерекше нүктесінің толықтығы – ашық аралықтардың шексіз бірігісі; оларға ерекше нүктесінің кішкентай ашық маңындағы кеңістікті қосып, шекті субқаптамасы жоқ ашық қаптама аламыз.
In mathematics, the Hawaiian earring is the topological space defined by the union of circles in the Euclidean plane with center and radius for endowed with the subspace topology:
The space is homeomorphic to the one point compactification of the union of a countable family of disjoint open intervals. The Hawaiian earring is a one dimensional, compact, locally path connected metrizable space. Although is locally homeomorphic to at all non origin points, is not semi locally simply connected at Therefore, does not have a simply connected covering space and is usually given as the simplest example of a space with this complication. The Hawaiian earring looks very similar to the wedge sum of countably infinitely many circles; that is, the rose with infinitely many petals, but these two spaces are not homeomorphic. The difference between their topologies is seen in the fact that, in the Hawaiian earring, every open neighborhood of the point of intersection of the circles contains all but finitely many of the circles (an ε ball around (0, 0) contains every circle whose radius is less than ε/2); in the rose, a neighborhood of the intersection point might not fully contain any of the circles. Additionally, the rose is not compact: the complement of the distinguished point is an infinite union of open intervals; to those add a small open neighborhood of the distinguished point to get an open cover with no finite subcover.
Негізгі топ
Гавайлық сырға тобы қарапайым байланысты емес, сонымен қатар жартылай жергілікті қарапайым байланысты емес, өйткені n-ші шеңберді параметрлейтін кез келген цикл тривиалды циклға гомотоп емес. Осылайша, Гавай сырғасының негізгі тобы, кейде Гавай сырғасы тобы деп аталатын, тривиальды емес. Гавай сырғасы тобы санаулы емес, және ол еркін топ емес. Дегенмен, ол жергілікті еркін, яғни Гавай сырғасы тобының әр шекті түрде туындаған ішкі тобы еркін. Жеке циклдардың гомотопиялық кластары санаулы сансыз генераторлармен еркін топты тудырады, ол Гавай сырғасының шекті саны шеңберлерінде бейнесі жатпайтын циклдардан басқа көптеген элементтерді қамтиды; шын мәнінде, олардың кейбіреулері сюръективті. Мысалы, [0,1] аралығында n-ші шеңберді айналатын жол. Жалпы алғанда, кез келген санаулы сызықтық ретпен индекстелген циклдердің шексіз көбейтінділерін құруға болады, егер әрбір i үшін цикл және оның керісі көбейтіндіде шекті рет қана пайда болса. Джон Морган мен Иан Моррисоннің нәтижесі бойынша, Гавай сырғасы тобы n генераторлары бар еркін топтардың кері шегіне еніп, онда байланыстыру картасы соңғы генераторды ғана жояды. Алайда, Гавай сырғасы тобы кері шегінің бұрыштас ішкі тобы болып табылады, өйткені Гавай сырғасы тобының әрбір циклы әрбір шеңберді тек шекті рет қана кесіп өтуі мүмкін. Кері шегінің Гавай сырғасы тобының элементіне сәйкес келмейтін элементінің мысалы – коммутаторлардың шексіз көбейтіндісі, ол кері шегіндегі тізбек ретінде формальды түрде көрінеді.
Жоғары өлшемдер
Бұл асфералық кеңістік екені белгілі, яғни жоғары гомотопиялық және гомологиялық топтарының барлығы тривиальды. Гавайи құлақшасын жоғары өлшемдерге жалпылауға болады. Майкл Барратт пен Джон Милнор мұндай жалпылауды кеңістік өлшемінен үлкен өлшемдерде тривиальды емес сингулярлы гомология топтарына ие, компактты, шекті өлшемді кеңістіктердің мысалдарын беру үшін пайдаланды. Гавайилік өлшемдік құлақша былай анықталады:
Осылайша, бұл бір ғана ортақ нүктесі бар k сфераларының санаулы жиыны болып табылады, ал топологиясы сфера диаметрлері нөлге жақындаған метрикамен берілген. Балама ретінде, бұл шексіз жиынтықтың Александров жиындығы ретінде құрастырылуы мүмкін. Рекурсивті түрде, бұл жиын конвергентті тізбектен тұрады, ал - бұл түпнұсқа Гавайи құлақшасы, ал - кемітілген суспензияға гомеоморфты. үшін, өлшемдік Гавайи құлақшасы компактты, -байланысты және жергілікті -байланысты. үшін, бұл Baer–Specker тобына изоморфты екені белгілі.
For , the dimensional Hawaiian earring is a compact, connected and locally connected. For , it is known that is isomorphic to the Baer–Specker group
және үшін Барратт пен Милнор әрбір мұндай үшін сингулярлы гомология тобы тривиальды емес санаулы емес топ екенін көрсетті.