Введение

Топологическое пространство, определяемое объединением окружностей.

В математике, гавайская серьга — это топологическое пространство, определяемое объединением окружностей в евклидовой плоскости с центром и радиусом для , наделенное подпространственной топологией.

Пространство гомеоморфно одноточечной компактификации объединения счетного семейства непересекающихся открытых интервалов. Гавайская серьга — это одномерное, компактное, локально полусвязное метризуемое пространство. Хотя гавайская серьга локально гомеоморфна к во всех точках, отличных от начала координат, она не полулокально простосвязна в точке 0. Следовательно, гавайская серьга не имеет простосвязного накрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с таким усложнением. Гавайская серьга выглядит очень похоже на клиновую сумму счетно бесконечного числа окружностей, то есть розу с бесконечным числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Различие между их топологиями проявляется в том, что в гавайской серьге каждое открытое окрестность точки пересечения окружностей содержит все, кроме конечного числа окружностей (ε-окрестность точки (0, 0) содержит каждую окружность, радиус которой меньше ε/2); в розе окрестность точки пересечения может не содержать ни одной из окружностей целиком. Кроме того, роза не компактна: дополнение выделенной точки является бесконечным объединением открытых интервалов; добавьте к ним небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытое покрытие без конечного подпокрытия.

Основная группа

Гавайская сережка не является ни просто связной, ни полулокально просто связной, поскольку для всех n петля, параметризующая n-й круг, не гомотопна тривиальной петле. Таким образом, у неё есть нетривиальная фундаментальная группа, иногда называемая группой гавайской сережки. Группа гавайской сережки несчётна и не является свободной группой. Однако она локально свободна в том смысле, что каждая конечно порождённая подгруппа является свободной. Гомотопические классы отдельных петель порождают свободную группу с счётным бесконечным числом образующих, которая образует собственную подгруппу. Остальные несчётные элементы возникают из петель, образ которых не содержится в конечном числе кругов гавайской сережки; при этом некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на интервале [0,1] обходит n-й круг. В более общем случае можно формировать бесконечные произведения петель, индексированных любым счётным линейным порядком, при условии, что для каждого n петля и её обратная входят в произведение лишь конечное число раз. Результат Джона Моргана и Иана Моррисона утверждает, что группа гавайской сережки вкладывается в обратный предел свободных групп с n генераторами, где связывающее отображение из Fₙ₊₁ в Fₙ просто уничтожает последний генератор. Однако группа гавайской сережки является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля может пересекать каждый круг лишь конечное число раз. Примером элемента обратного предела, не соответствующего элементу группы гавайской сережки, является бесконечное произведение коммутаторов, формально представленное как последовательность в обратном пределе.

Более высокие размеры

Известно, что это асферическое пространство, то есть все высшие группы гомотопий и гомологий пространства тривиальны. Гавайская серьга может быть обобщена на более высокие размерности. Такое обобщение было использовано Майклом Барраттом и Джоном Милнором для приведения примеров компактных, конечномерных пространств с нетривиальными группами сингулярных гомологий в размерностях, больших размерности самого пространства. -мерная гавайская серьга определяется как

Следовательно, является счетным объединением k-сфер, имеющих одну общую точку, и топология задается метрикой, в которой диаметры сфер стремятся к нулю при . Альтернативно, её можно построить как компактификацию Александрова счетного объединения непересекающихся сфер. Рекурсивно, можно сказать, что состоит из сходящейся последовательности, является исходной гавайской серьгой, а гомеоморфна редуцированной подвеске. Для , -мерная гавайская серьга является компактной, -связной и локально -связной. Для известно, что изморфна группе Баэра — Спекера.

Для и Барратт и Милнор показали, что сингулярная гомологическая группа является нетривиальной несчётной группой для каждого такого .