Кіріспе
Екі объектінің гомологиясын олардың көбейтіндісінің гомологиясына қатыстырады. Математикада, әсіресе гомологиялық алгебра және алгебралық топологияда Кюннет теоремасы, сондай-ақ Кюннет формуласы деп аталатын, екі объектінің гомологиясын олардың көбейтіндісінің гомологиясына байланыстыратын мәлімдеме бар. Кюннет теоремасының классикалық тұжырымы екі топологиялық кеңістік X және Y-тің жеке гомологиясын және олардың көбейтінді кеңістігін байланыстырады. Ең қарапайым жағдайда бұл қатынас тензорлық көбейтінді ретінде беріледі, бірақ қолданулар үшін жауапты көрсету үшін гомологиялық алгебраның белгілі бір құралдарын қолдану жиі қажет болады. Кюннет теоремасы немесе Кюннет формуласы көптеген гомология және кохомология теорияларында орынды, ал атауы жалпы қолданыстағы атауға айналған. Бұл көптеген нәтижелер неміс математигі Герман Кюннеттің құрметіне аталған.
In mathematics, especially in homological algebra and algebraic topology, a Künneth theorem, also called a Künneth formula, is a statement relating the homology of two objects to the homology of their product. The classical statement of the Künneth theorem relates the singular homology of two topological spaces X and Y and their product space In the simplest possible case the relationship is that of a tensor product, but for applications it is very often necessary to apply certain tools of homological algebra to express the answer. A Künneth theorem or Künneth formula is true in many different homology and cohomology theories, and the name has become generic. These many results are named for the German mathematician Hermann Künneth.
Өрістегі коэффициенттермен сингулярлы гомология
X және Y екі топологиялық кеңістік болсын. Жалпы жағдайда жеке хомология қолданылады; бірақ егер X және Y CW кешендері болса, онда оны жасушалық хомологиямен алмастыруға болады, себебі ол жеке хомологияға изоморфты. Ең қарапайым жағдай – гомология үшін коэффициент сақинасы F өрісі болғанда. Бұл жағдайда Күннет теоремасы (жеке хомология үшін) кез келген бүтін сан k үшін,
Сонымен қатар, изоморфизм – табиғи изоморфизм. Қосындыдан көбейтіндінің гомология тобына сәйкестік – кросс көбейтінді деп аталады. Нақтырақ айтқанда, X-тегі i цикл және Y-дегі j циклді біріктіріп, циклын жасауға мүмкіндік беретін кросс көбейтінді операциясы бар; сондықтан тікелей қосындыдан -ға анықталған нақты сызықтық бейнелеу бар. Бұл нәтиженің салдары – коэффициенттері бар гомологияның өлшемдері, яғни Бетти сандары, X және Y кеңістіктерінің Бетти сандары арқылы анықталады. Егер Z кеңістігінің Бетти сандарының тізбегін туындататын функция болса, онда
A consequence of this result is that the Betti numbers, the dimensions of the homology with coefficients, of can be determined from those of X and Y. If is the generating function of the sequence of Betti numbers of a space Z, then
Мұнда, егер X және Y кеңістіктерінің Бетти сандары шекті болса және олардың әрқайсысы емес, табиғи сан болса, онда бұл Пуанкаре полиномдары үшін сәйкестік ретінде оқылады. Жалпы жағдайда, бұл мүмкін шексіз коэффициенттері бар формальды қуат қатарлары болып табылады және оларды тиісінше түсіндіру керек. Сонымен қатар, жоғарыда айтылған мәлімдеме Бетти сандары үшін ғана емес, сонымен қатар кез келген өріс бойынша гомология өлшемдерінің туындатушы функциялары үшін де жарамды. (Егер бүтін сан гомологиясы бұрылыссыз болмаса, онда бұл сандар стандартты Бетти сандарынан өзгеше болуы мүмкін.)
Жалпыланған гомология және кохомология теориясындағы Куннеф теоремалары
Топологиялық кеңістіктер үшін көптеген жалпыланған (немесе "әдеттен тыс") гомология және кохомология теориялары бар. К-теория және кобордизм ең белгілілері. Қалыпты гомология мен кохомологиядан өзгеше, оларды әдетте тізбек кешендерін қолдану арқылы анықтауға болмайды. Сондықтан, гомологиялық алгебраның жоғарыда аталған әдістерімен Күннет теоремаларын алу мүмкін емес. Дегенмен, Күннет теоремалары дәл сол түрінде көптеген жағдайларда әртүрлі басқа әдістермен дәлелденген. Алғашқылары – Майкл Атияның күрделі К-теориясы бойынша Күннет теоремасы және Пьер Коннер мен Эдвин Э. Флойдтың кобордизмдегі нәтижелері. Жоғары құрылымдалған сақиналық спектрлер үстінен модульдердің гомотопиялық теориясына негізделген дәлелдеудің жалпы әдісі пайда болды. Мұндай модульдердің гомотопиялық санаты гомологиялық алгебрадағы туынды санаққа өте ұқсас.