Введение

Связывает гомологию двух объектов с гомологией их произведения. В математике, особенно в гомологической алгебре и алгебраической топологии, теорема Кюннета, также называемая формулой Кюннета, – это утверждение, устанавливающее связь между гомологией двух объектов и гомологией их произведения. Классическая формулировка теоремы Кюннета связывает сингулярную гомологию двух топологических пространств X и Y с гомологией их декартова произведения. В наиболее простом случае эта связь выражается через тензорное произведение, однако для практических приложений часто требуется использовать определенные инструменты гомологической алгебры для получения результата. Теорема Кюннета или формула Кюннета справедлива для многих различных теорий гомологии и кохомологии, и название стало общеупотребимым. Эти многочисленные результаты названы в честь немецкого математика Германна Кюннета.

Сингулярная гомология с коэффициентами в поле

Пусть X и Y — два топологических пространства. В общем случае используется сингулярная гомология; но если X и Y оказываются CW-комплексами, то её можно заменить клеточной гомологией, поскольку она изоморфна сингулярной гомологии. Наиболее простой случай — когда кольцо коэффициентов для гомологии является полем F. В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярной гомологии) утверждает, что для любого целого числа k,

Более того, изоморфизм является естественным изоморфизмом. Отображение из суммы в гомологическую группу произведения называется перекрестным произведением. Более точно, существует операция перекрестного произведения, посредством которой i-цикл на X и j-цикл на Y можно объединить для получения (i+j)-цикла на X × Y, так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в H*(X × Y). Следствием этого результата является то, что числа Бетти, то есть размерности гомологии с коэффициентами из F, пространства X × Y могут быть определены на основе чисел Бетти пространств X и Y. Если P_Z(t) — порождающая функция последовательности чисел Бетти пространства Z, то

Здесь, когда существует конечное число чисел Бетти пространств X и Y, каждое из которых является натуральным числом, а не нулем, это можно рассматривать как тождество для полиномов Пуанкаре. В общем случае это формальные степенные ряды с, возможно, бесконечными коэффициентами, которые следует интерпретировать соответствующим образом. Кроме того, вышеуказанное утверждение справедливо не только для чисел Бетти, но и для порождающих функций размерностей гомологии над любым полем. (Если целочисленная гомология не свободна от кручения, то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.)

Теоремы Куннета в обобщенных теориях гомологии и кохомологии

Существует множество обобщенных (или "исключительных") теорий гомологии и кохомологии для топологических пространств. Наиболее известны K-теория и кобордизм. В отличие от обычной гомологии и кохомологии, они, как правило, не могут быть определены с помощью цепных комплексов. Следовательно, теоремы Куннета нельзя получить вышеуказанными методами гомологической алгебры. Тем не менее, теоремы Куннета в той же самой форме были доказаны во многих случаях различными другими методами. Первыми были теорема Куннета Майкла Атия для комплексной K-теории и результат Пьера Коннера и Эдвина Э. Флойда в кобордизме. Появился общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над сильно структурированными кольцевыми спектрами. Гомотопическая категория таких модулей тесно перекликается с производной категорией в гомологической алгебре.