Кіріспе
Категория теориясында табиғи сандар объектісі (ННО) — табиғи сандарға ұқсас рекурсивті құрылыммен жабдықталған объект. Нақтырақ айтқанда, E санатында 1 терминалды объектісі болғанда, NNO N мыналармен беріледі: z: 1 → N жаһандық элементі және s: N → N жебесі, сондай-ақ, E санатының кез келген A объектісі, q: 1 → A жаһандық элементі және f: A → A жебесі үшін бірегей u: N → A жебесі бар, мұнда:
a global element z : 1 → N, and
an arrow s : N → N,
such that for any object A of E, global element q : 1 → A, and arrow f : A → A, there exists a unique arrow u : N → A such that:
u ∘ z = q, and
u ∘ s = f ∘ u. In other words, the triangle and square in the following diagram commute. The pair (q, f) is sometimes called the recursion data for u, given in the form of a recursive definition:
⊢ u (z) = q
y ∈E N ⊢ u (s y) = f (u (y))
The above definition is the universal property of NNOs, meaning they are defined up to canonical isomorphism. If the arrow u as defined above merely has to exist, that is, uniqueness is not required, then N is called a weak NNO.
u ∘ z = q, және
u ∘ s = f ∘ u. Басқаша айтқанда, төмендегі диаграммадағы үшбұрыш және төртбұрыш коммутативті. (q, f) жұпы кейде u үшін рекурсиялық деректер деп аталады, олар рекурсивті анықтама түрінде берілген:
a global element z : 1 → N, and
an arrow s : N → N,
such that for any object A of E, global element q : 1 → A, and arrow f : A → A, there exists a unique arrow u : N → A such that:
u ∘ z = q, and
u ∘ s = f ∘ u. In other words, the triangle and square in the following diagram commute. The pair (q, f) is sometimes called the recursion data for u, given in the form of a recursive definition:
⊢ u (z) = q
y ∈E N ⊢ u (s y) = f (u (y))
The above definition is the universal property of NNOs, meaning they are defined up to canonical isomorphism. If the arrow u as defined above merely has to exist, that is, uniqueness is not required, then N is called a weak NNO.
⊢ u(z) = q
y ∈E N ⊢ u(s y) = f(u(y))
a global element z : 1 → N, and
an arrow s : N → N,
such that for any object A of E, global element q : 1 → A, and arrow f : A → A, there exists a unique arrow u : N → A such that:
u ∘ z = q, and
u ∘ s = f ∘ u. In other words, the triangle and square in the following diagram commute. The pair (q, f) is sometimes called the recursion data for u, given in the form of a recursive definition:
⊢ u (z) = q
y ∈E N ⊢ u (s y) = f (u (y))
The above definition is the universal property of NNOs, meaning they are defined up to canonical isomorphism. If the arrow u as defined above merely has to exist, that is, uniqueness is not required, then N is called a weak NNO.
Жоғарыдағы анықтама ННО-ның әмбебап қасиеті болып табылады, яғни олар канондық изоморфизмге дейін анықталады. Егер жоғарыда анықталған u жебесі тек қана бар болуы керек болса, яғни бірегейлік талап етілмейді, онда N әлсіз ННО деп аталады.
a global element z : 1 → N, and
an arrow s : N → N,
such that for any object A of E, global element q : 1 → A, and arrow f : A → A, there exists a unique arrow u : N → A such that:
u ∘ z = q, and
u ∘ s = f ∘ u. In other words, the triangle and square in the following diagram commute. The pair (q, f) is sometimes called the recursion data for u, given in the form of a recursive definition:
⊢ u (z) = q
y ∈E N ⊢ u (s y) = f (u (y))
The above definition is the universal property of NNOs, meaning they are defined up to canonical isomorphism. If the arrow u as defined above merely has to exist, that is, uniqueness is not required, then N is called a weak NNO.
Теңдес анықтамалар
Картезиялық жабық санаттарда (CCC) немесе топоистерде NNO кейде келесідей эквивалентті түрде анықталады (Ловерге сәйкес): g: A → B және f: B → B жебелерінің кез келген жұбы үшін, h: N × A → B деген бірегей жебе болады, осылайша келесі диаграммадағы төртбұрыштар коммутативті болады. Осы құрылым картозиялық жабық емес картозиялық санаттардағы әлсіз NNO-ны анықтайды. 1 терминалды объектісі және бинарлық коөнімдері (+ белгісімен) бар санатта NNO-ны объектілерге және жебелерге әсер ететін эндофунктордың бастапқы алгебрасы ретінде анықтауға болады.
Мысалдар
Жинақ, жиынтықтар санатында стандартты натурал сандар NNO болып табылады. Жиынтегіндегі терминал объектісі – жеке элемент, ал жеке элементтен шығатын функция жиынның бір элементін бөліп алады. Натурал сандар 𝐍 – NNO болып табылады, мұнда 𝐍-ге бейнесі нөлге тең болатын жеке элементтен функция және сол – ізбасар функция болып табылады. (Біз функцияға 𝐍-нің кез келген элементін бөліп алуға рұқсат бере аламыз, сонда алынған NNO осыған изоморфты болады.) Анықтамадағы диаграмма математикалық индукция қолданып коммутативті екенін дәлелдеуге болады. Мартин Лёфтің типтер теориясының типтер санатында (типтер нысандар ретінде және функциялар жебелер ретінде), стандартты натурал сандар түрі nat – NNO болып табылады. nat үшін рекурсорды қолдану арқылы тиісті диаграмманың коммутативті екенін көрсетуге болады. Егер 𝐆 – Grothendieck топосы болса және 𝐎 оның терминал объектісі болса, ал 𝒯 – 𝐆 санатындағы Grothendieck топологиясы болса, онда егер 𝐅 – 𝐎-дағы тұрақты прешеф болса, онда 𝐆-дегі NNO – 𝐅-тің шефификациясы болып табылады және оның мынадай формада болатынын көрсетуге болады.