Кіріспе
Математикада, периодты функцияның Фурье қатары берілген функцияға жақындаса ма деген сұрақ классикалық гармониялық талдау деп аталатын сала арқылы зерттеледі, бұл таза математиканың бір бөлімі. Жалпы жағдайда жақындасу міндетті түрде болмайды және жақындасу үшін белгілі бір шарттар орындалуы керек. Жақындасуды анықтау үшін нүктелік жақындасу, біркелкі жақындасу, абсолютті жақындасу, Lp кеңістіктері, қосындылау әдістері және Чезаро ортасы туралы түсінік қажет.
In mathematics, the question of whether the Fourier series of a periodic function converges to a given function is researched by a field known as classical harmonic analysis, a branch of pure mathematics. Convergence is not necessarily given in the general case, and certain criteria must be met for convergence to occur. Determination of convergence requires the comprehension of pointwise convergence, uniform convergence, absolute convergence, Lp spaces, summability methods and the Cesàro mean.
Нормалық конвергенция
Ең қарапайым жағдай - L2, ол жалпы Гильберт кеңістігінің нәтижелерінің тікелей транскрипциясы болып табылады. Риесс-Фишер теоремасына сәйкес, егер ƒ квадратқа интегралданатын болса, онда, яғни L2 нормасында ƒ-ға жақындайды. Керісінше, егер жоғарыдағы лимит нөлге тең болса, ƒ L2-ге жатады. Бұл «егер және тек қана» шарты. Егер жоғарыдағы көрсеткіштегі 2 саны қандай да бір p санымен ауыстырылса, мәселе әлдеқайда күрделенеді. Бірақ 1 < p < ∞ болған жағдайда, жақындасу сақталады. Басқаша айтқанда, ƒ Lp-де болса, Lp нормасында ƒ-ға жақындайды. Алғашқы дәлелдеме голоморфтық функциялар мен Харди кеңістіктерінің қасиеттерін пайдаланады, ал Саломон Бохнерге тиесілі басқа дәлелдеме Риесс-Торин интерполяция теоремасына негізделген. p = 1 және шексіз болған жағдайда, нәтиже дұрыс емес. L1 кеңістігінде дивергенцияның мысалын алғаш Андрей Колмогоров жасаған (қараңыз төмен). Шексіз үшін, нәтиже бірыңғай шектелу принципінің салдары болып табылады. Егер SN бөлшек қосынды операторы тиісті жиынтық ядромен (мысалы, Фейер ядросымен конволюция арқылы алынған Фейер қосындысы) ауыстырылса, 1 ≤ p < ∞ үшін нормалық жақындасудың дұрыс екенін көрсету үшін негізгі функционалдық аналитикалық әдістерді қолдануға болады.
i. e., converges to ƒ in the norm of L2. It is easy to see that the converse is also true: if the limit above is zero, ƒ must be in L2. So this is an if and only if condition. If 2 in the exponents above is replaced with some p, the question becomes much harder. It turns out that the convergence still holds if 1 < p < ∞. In other words, for ƒ in Lp, converges to ƒ in the Lp norm. The original proof uses properties of holomorphic functions and Hardy spaces, and another proof, due to Salomon Bochner relies upon the Riesz–Thorin interpolation theorem. For p = 1 and infinity, the result is not true. The construction of an example of divergence in L1 was first done by Andrey Kolmogorov (see below). For infinity, the result is a corollary of the uniform boundedness principle. If the partial summation operator SN is replaced by a suitable summability kernel (for example the Fejér sum obtained by convolution with the Fejér kernel), basic functional analytic techniques can be applied to show that norm convergence holds for 1 ≤ p < ∞.
Бірнеше өлшемдер
Теңдес мәселені бірнеше өлшемде қарастырғанда, қолданылатын қосындының нақты ретін көрсету қажет. Мысалы, екі өлшемде мынаны анықтауға болады:
Бұлар "квадраттық жартылай сомалар" деп аталады. Жоғарыдағы соманы мынамен алмастыру:
"айналмалы жартылай сомаларға" әкеледі. Бұл екі анықтама арасындағы айырмашылық өте маңызды. Мысалы, квадраттық жартылай сомаларға сәйкес Дирихле ядросының нормасы шамамен алғанда, ал айналмалы жартылай сомалар үшін ол шамамен алғанда. Бір өлшем үшін дұрыс нәтижелердің көп бөлігі көп өлшемде қате немесе белгісіз. Атап айтқанда, Карлесон теоремасының эквиваленті айналмалы жартылай сомалар үшін әлі де шешілмеген мәселе болып табылады. Көп өлшемде "квадраттық жартылай сомалардың" (сондай-ақ, жалпырақ көпбұрышты жартылай сомалардың) дерлік барлық жерде жинақталуы 1970 жылдары Чарльз Фефферманмен дәлелденді.
Many of the results true for one dimension are wrong or unknown in multiple dimensions. In particular, the equivalent of Carleson's theorem is still open for circular partial sums. Almost everywhere convergence of "square partial sums" (as well as more general polygonal partial sums) in multiple dimensions was established around 1970 by Charles Fefferman.
Оқулық
Данхам Джексон, "Жақындастыру теориясы", AMS Colloquium Publication XI том, Нью-Йорк, 1930 жыл. Нина К. Бари, Тригонометриялық тізбектер туралы трактат, том. I, II. Маргарет Ф. Муллинс аударған. Pergamon Press кітабы. "Макмиллан" компаниясы, Нью-Йорк, 1964 жыл. Антони Зигмунд, Тригонометриялық сериялар, том. I, II. Үшінші басылым. Роберт А. Фефферманның алғы сөзімен. Кембридж математикалық кітапханасы. Кембридж университетінің баспасы, Кембридж, 2002 жыл. Ицхак Катзнелсон, Гармониялық талдауға кіріспе, үшінші басылым. Кембридж университетінің баспасы, Кембридж, 2004 жыл. Карл Р. Стромберг, Классикалық талдауға кіріспе, Wadsworth International Group, 1981 жыл. Катзнелсонның кітабы осы үш кітаптың ішінде ең заманауи терминологияны және стильді қолданады. Алғашқы басылымдардың шығу мерзімі: Зигмунд – 1935 жыл, Бари – 1961 жыл және Катзнелсон – 1968 жыл. Дегенмен, Зигмундтың кітабы 1959 жылы екінші рет басылғанда мазмұны айтарлықтай кеңейтілді.