Введение
Математическая задача классического гармонического анализа. В математике вопрос о сходимости ряда Фурье периодической функции к заданной функции исследуется в области, известной как классический гармонический анализ, являющейся разделом чистой математики. Сходимость не гарантирована в общем случае, и для её достижения необходимо выполнение определенных критериев. Определение сходимости требует понимания точечной сходимости, равномерной сходимости, абсолютной сходимости, пространств Lp, методов суммирования и среднего Цезаро.
In mathematics, the question of whether the Fourier series of a periodic function converges to a given function is researched by a field known as classical harmonic analysis, a branch of pure mathematics. Convergence is not necessarily given in the general case, and certain criteria must be met for convergence to occur. Determination of convergence requires the comprehension of pointwise convergence, uniform convergence, absolute convergence, Lp spaces, summability methods and the Cesàro mean.
Сближение норм
Самый простой случай — это L2, который является прямой транскрипцией общих результатов для пространства Гильберта. Согласно теореме Риеша — Фишера, если ƒ квадратично интегрируема, то, то есть, сходится к ƒ в норме L2. Легко увидеть, что обратное также верно: если указанный предел равен нулю, то ƒ принадлежит L2. Таким образом, это условие необходимо и достаточно. Если 2 в указанных показателях заменить на некоторое p, задача становится значительно сложнее. Оказывается, сходимость все еще имеет место при 1 < p < ∞. Иными словами, для ƒ из Lp, сходится к ƒ в Lp-норме. Оригинальное доказательство использует свойства голоморфных функций и пространств Харди, а другое доказательство, предложенное Соломоном Бохнером, опирается на теорему интерполяции Риеша — Торина. Для p = 1 и бесконечности результат неверен. Пример расходимости в L1 впервые был построен Андреем Колмогоровым (см. ниже). Для бесконечности результат является следствием принципа равномерной ограниченности. Если оператор частичных сумм SN заменить подходящим ядром суммируемости (например, суммой Фейера, полученной сверткой с ядром Фейера), можно применить основные методы функционального анализа, чтобы показать, что сходимость по норме выполняется при 1 ≤ p < ∞.
i. e., converges to ƒ in the norm of L2. It is easy to see that the converse is also true: if the limit above is zero, ƒ must be in L2. So this is an if and only if condition. If 2 in the exponents above is replaced with some p, the question becomes much harder. It turns out that the convergence still holds if 1 < p < ∞. In other words, for ƒ in Lp, converges to ƒ in the Lp norm. The original proof uses properties of holomorphic functions and Hardy spaces, and another proof, due to Salomon Bochner relies upon the Riesz–Thorin interpolation theorem. For p = 1 and infinity, the result is not true. The construction of an example of divergence in L1 was first done by Andrey Kolmogorov (see below). For infinity, the result is a corollary of the uniform boundedness principle. If the partial summation operator SN is replaced by a suitable summability kernel (for example the Fejér sum obtained by convolution with the Fejér kernel), basic functional analytic techniques can be applied to show that norm convergence holds for 1 ≤ p < ∞.
Многомерность
При рассмотрении эквивалентной задачи в более чем одном измерении необходимо уточнить точный порядок суммирования. Например, в двух измерениях можно определить
которые известны как "квадратные частичные суммы". Замена суммы, представленной выше, на
приводит к "круговым частичным суммам". Разница между этими двумя определениями весьма существенна. Например, норма соответствующего ядра Дирихле для квадратных частичных сумм имеет порядок , а для круговых частичных сумм – порядок . Многие результаты, справедливые для одномерного случая, оказываются неверными или неизвестными в многомерном. В частности, эквивалент теоремы Карлесона для круговых частичных сумм до сих пор не доказан. Почти всюду сходимость "квадратных частичных сумм" (а также более общих многоугольных частичных сумм) в нескольких измерениях была установлена около 1970 года Чарльзом Фефферманом.
Many of the results true for one dimension are wrong or unknown in multiple dimensions. In particular, the equivalent of Carleson's theorem is still open for circular partial sums. Almost everywhere convergence of "square partial sums" (as well as more general polygonal partial sums) in multiple dimensions was established around 1970 by Charles Fefferman.
Учебники
Данэм Джексон, Теория приближений, AMS Colloquium Publication, том XI, Нью-Йорк, 1930. Нина К. Бари, Трактат о тригонометрических рядах, тома I, II. Авторизованный перевод Маргарет Ф. Муллинс. Издание Pergamon Press. Компания Macmillan, Нью-Йорк, 1964. Антони Зигмунд, Тригонометрические ряды, тома I, II. Третье издание. Со вступительным словом Роберта А. Феффермана. Cambridge Mathematical Library. Кембриджский университет, Кембридж, 2002. Ицхак Катзнельсон, Введение в гармонический анализ, третье издание. Кембриджский университет, Кембридж, 2004. Карл Р. Стромберг, Введение в классический анализ, Wadsworth International Group, 1981. Из этих трех книг книга Катзнельсона использует наиболее современную терминологию и стиль изложения. Первоначальные даты публикации: Зигмунд – 1935, Бари – 1961 и Катзнельсон – 1968. Однако книга Зигмунда была значительно расширена во втором издании, вышедшем в 1959 году.