Кіріспе
Категория теориясы
Математикада Каруби конверті (немесе Коши толықтыруы немесе идемпотент толықтыруы) – көмекші категория арқылы C категориясының идемпотенттерінің жіктелуі. Преаддитивті категорияның Каруби конвертін алу псевдоабелдік категорияны береді, сондықтан бұл құрылым кейде псевдоабелдік аяқтау деп аталады. Ол француз математигі Макс Карубидің құрметіне аталған. Егер C категориясы берілген болса, C-ның идемпотенті – A-дан A-ға ендоморфизм:
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
е: A → A идемпотенті бөлінеді деп айтылады, егер B объектісі және f: A → B, g: B → A морфизмдері болса, онда e = g f және 1B = f g.
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
C категориясының Каруби конверті, кейде Split(C) деп жазылады, – бұл категория, оның объектілері (A, e) түріндегі жұптар, мұнда A – C категориясының объектісі және e – C категориясының идемпотенті, ал морфизмдері – үштік:
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
мұндағы f – C категориясының морфизмі және e f = f e (немесе эквивалентті). Split(C)-де композиция C-дегідей, бірақ Split(C)-дегі сәйкес морфизм – , емес, -нің сәйкес морфизмі. C категориясы Split(C) категориясына толық және адал түрде енгізіледі. Split(C)-де әр идемпотент бөлінеді, ал Split(C) – бұл қасиетке ие әмбебап категория. Сондықтан Каруби конверті C категориясының «аяқталуы» ретінде қарастырылуы мүмкін, ол идемпотенттерді бөледі. C категориясының Каруби конвертін C-ның прешеулеріндегі (С-қа дейінгі прешеулер) бейнеленетін функторлардың кері тартылуының толық субкатегориясы ретінде де анықтауға болады. C-ның прешеулер категориясы Split(C)-ның прешеулер категориясына эквивалентті.
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
Мысалдар
Егер C-де өнімдер болса, онда изоморфизмді ескере отырып, симметрияның каноникалық картасымен құрастырылған карталау ішінара инволюция болып табылады. Егер C үшбұрышты категория болса, онда Каруби конверті Split(C) үшбұрышты категория құрылымымен жабдылуы мүмкін, сонда каноникалық функтор C → Split(C) үшбұрышты функторға айналады. Каруби конверті бірнеше мотивтер категориясын құруда қолданылады. Каруби конверті құрылымы жартылай қосымшаларды қосымшаларға айналдырады. Осы себепті Каруби конверті типтелмеген лямбда-есептеудің модельдерін зерттеуде қолданылады. Экстенсиялық лямбда-моделінің (категория ретінде қарастырылатын моноид) Каруби конверті картезиялық жабық. Кез келген сақинадағы проективтік модульдер категориясы оның еркін модульдердің толық кіші категориясының Каруби конверті болып табылады. Кез келген паракомпакт кеңістіктегі векторлық буюмдар категориясы – тривиальды буюмдардың толық кіші категориясының Каруби конверті. Бұл, шын мәнінде, Серре-Сван теоремасы бойынша бұрынғы мысалдың ерекше жағдайы, ал керісінше, бұл теореманы ең алдымен осы екі фактіні дәлелдеу арқылы дәлелдеуге болады: ғаламдық қималар функторы тривиальды векторлық буюмдар мен еркін модульдер арасындағы эквиваленттілік екендігі және содан кейін Каруби конвертінің әмбебап қасиетін пайдалану.