Введение
Теория категорий
В математике, огибающая Каруби (или завершение Коши, или завершение по идемпотентам) категории C — это классификация идемпотентов C посредством вспомогательной категории. Взятие огибающей Каруби предварительно аддитивной категории даёт псевдоабелеву категорию, поэтому данную конструкцию иногда называют псевдоабелевым завершением. Она названа в честь французского математика Макса Каруби. Для заданной категории C, идемпотентом C называется эндоморфизм e: A → A, который называется расщепляемым, если существует объект B и морфизмы f: A → B, g: B → A такие, что e = g ∘ f и 1B = f ∘ g.
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
Огибающая Каруби категории C, иногда записываемая как Split(C), — это категория, объекты которой являются парами вида (A, e), где A — объект C, а e — идемпотент в C, а морфизмы — тройками (f, α, g), где f: A → B, g: B → A — морфизмы в C, удовлетворяющие условию e ∘ f = α ∘ g (или, эквивалентно, f = α ∘ g ∘ e). Композиция в Split(C) определяется как в C, но тождественный морфизм на (A, e) в Split(C) равен (idA, 1e, idA), а не тождественный морфизм на A в C.
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
Категория C полностью и верно вкладывается в Split(C). В Split(C) каждый идемпотент расщепляем, и Split(C) является универсальной категорией с этим свойством. Таким образом, огибающая Каруби категории C может рассматриваться как «завершение» C, расщепляющее идемпотенты. Огибающая Каруби категории C может быть эквивалентно определена как полная подкатегория (предварительных пучков над C) ретрактов представимых функторов. Категория предварительных пучков на C эквивалентна категории предварительных пучков на Split(C).
In mathematics the Karoubi envelope (or Cauchy completion or idempotent completion) of a category C is a classification of the idempotents of C, by means of an auxiliary category. Taking the Karoubi envelope of a preadditive category gives a pseudo abelian category, hence the construction is sometimes called the pseudo abelian completion. It is named for the French mathematician Max Karoubi. Given a category C, an idempotent of C is an endomorphism
with
An idempotent e: A → A is said to split if there is an object B and morphisms f: A → B,
g : B → A such that e = g f and 1B = f g.
The Karoubi envelope of C, sometimes written Split(C), is the category whose objects are pairs of the form (A, e) where A is an object of C and is an idempotent of C, and whose morphisms are the triples
where is a morphism of C satisfying (or equivalently ). Composition in Split(C) is as in C, but the identity morphism
on in Split(C) is , rather than
the identity on
The category C embeds fully and faithfully in Split(C). In Split(C) every idempotent splits, and Split(C) is the universal category with this property. The Karoubi envelope of a category C can therefore be considered as the "completion" of C which splits idempotents. The Karoubi envelope of a category C can equivalently be defined as the full subcategory of (the presheaves over C) of retracts of representable functors. The category of presheaves on C is equivalent to the category of presheaves on Split(C).
Примеры
Если C имеет произведения, то при заданном изоморфизме отображение , составленное с каноническим отображением симметрии, является частичной инволюцией. Если C – триангулированная категория, оболочка Каруби Split(C) может быть наделена структурой триангулированной категории, так что канонический функтор C → Split(C) становится триангулированным функтором. Оболочка Каруби используется в построении нескольких категорий мотивов. Конструкция оболочки Каруби превращает полуприсоединенные функторы в присоединенные. По этой причине оболочка Каруби используется в изучении моделей нетипизированного лямбда-исчисления. Оболочка Каруби экстенсиональной лямбда-модели (моноида, рассматриваемого как категория) является декартово замкнутой. Категория проективных модулей над любым кольцом является оболочкой Каруби своей полной подкатегории свободных модулей. Категория векторных расслоений над любым паракомпактным пространством является оболочкой Каруби своей полной подкатегории тривиальных расслоений. Это, по сути, частный случай предыдущего примера, согласно теореме Серра — Свана, и, наоборот, эту теорему можно доказать, сначала доказав оба этих факта: наблюдение, что функтор глобальных сечений является эквивалентностью между тривиальными векторными расслоениями над X и свободными модулями над X, а затем используя универсальное свойство оболочки Каруби.