Кіріспе
Дәлелді жоққа шығаратын ең кішкентай мысал. Математикада минималды контрпример – дәлелді жоққа шығаратын ең кішкентай мысал, ал минималды контрпример арқылы дәлелдеу – минималды контрпримерді индукциялық дәлелдеу және қайшылық арқылы дәлелдеу идеяларымен біріктіретін дәлелдеу әдісі. Нақтырақ айтқанда, P тұжырымын дәлелдеуге тырысқанда, біріншіден, оның жалған екенін және демек, кем дегенде бір контрпример болуы керек деп қайшылық арқылы қарастырады. Көлмдік өлшеміне қатысты (оны мұқият таңдау қажет болуы мүмкін), содан кейін C минималды контрпримері бар деген қорытындыға келеді. Дәлелдемеге қатысты, C көбінесе гипотетикалық нәрсе болып табылады (өйткені P-нің растығы C-нің болу мүмкін еместігін көрсетеді), бірақ егер C болса, онда оның белгілі бір қасиеттері болады, олар индукциялық дәлелдемеге ұқсас пікірлерді қолданғаннан кейін қайшылыққа алып келеді, осылайша P тұжырымының рас екенін көрсетеді. Егер қайшылықтың формасы біз C-ден кішкентайрақ D контрпримерін шығара алатын болсақ, онда бұл техника дәстүрлі түрде шексіз түсу арқылы дәлелдеу деп аталады. Бұл жағдайда дәлелдеме аргументін құрудың бірнеше және күрделі жолдары болуы мүмкін. Контрпример болса, онда минималды контрпример бар деген болжам белгілі бір жақсы ретке негізделген. Табиғи сандарға қатысты әдеттегі реттеу математикалық индукцияның ең көп қолданылатын формулировкасымен анық мүмкін; бірақ әдістің ауқымына кез келген жақсы реттелген индукция кіруі мүмкін.
In mathematics, a minimal counterexample is the smallest example which falsifies a claim, and a proof by minimal counterexample is a method of proof which combines the use of a minimal counterexample with the ideas of proof by induction and proof by contradiction. More specifically, in trying to prove a proposition P, one first assumes by contradiction that it is false, and that therefore there must be at least one counterexample. With respect to some idea of size (which may need to be chosen carefully), one then concludes that there is such a counterexample C that is minimal. In regard to the argument, C is generally something quite hypothetical (since the truth of P excludes the possibility of C), but it may be possible to argue that if C existed, then it would have some definite properties which, after applying some reasoning similar to that in an inductive proof, would lead to a contradiction, thereby showing that the proposition P is indeed true. If the form of the contradiction is that we can derive a further counterexample D, that is smaller than C in the sense of the working hypothesis of minimality, then this technique is traditionally called proof by infinite descent. In which case, there may be multiple and more complex ways to structure the argument of the proof. The assumption that if there is a counterexample, there is a minimal counterexample, is based on a well ordering of some kind. The usual ordering on the natural numbers is clearly possible, by the most usual formulation of mathematical induction; but the scope of the method can include well ordered induction of any kind.
Мысалдар
Минималды қарсы мысал әдісі шекті қарапайым топтарды жіктеуде кеңінен қолданылады. Фейт-Томпсон теоремасы, яғни циклдік емес шекті қарапайым топтардың тақ саны болмайды деген тұжырым, кейбір, демек, ең кішкентай тақ ретті қарапайым топ G болжамына негізделген. G-нің кез келген дербес кіші тобы шешілетін топ деп есептелуі мүмкін, яғни мұндай кіші топтарға қатысты теорияның көп бөлігі қолданылуы мүмкін. Евклидтің арифметиканың негізгі теоремасын дәлелдеуі – минималды қарсы мысалға негізделген қарапайым дәлел. Курант пен Роббинс төрт түс теоремасы контекстінде минималды қарсы мысал үшін «минималды қылмыстық» терминін қолданды.