Кіріспе

Гомология және кохомология теориялары арасындағы қатынастарды орнату. Алгебралық топологияда әмбебап коэффициент теоремалары әртүрлі коэффициенттері бар гомология топтары (немесе кохомология топтары) арасындағы қатынастарды орнатуға арналған. Мысалы, кез келген топологиялық X кеңістігі үшін оның интегралды гомология топтары:

Hi(X; 'Z')

кез келген абельдік топ A үшін A-дағы коэффициенттері бар гомология топтарын толықтай анықтайды:

Hi(X; A)

Мұнда Hi симплициалды гомология немесе, жалпы алғанда, сингулярлы гомология болуы мүмкін. Бұл нәтиженің дәлелі еркін абельдік топтардың тізбекті кешендеріне қатысты гомологиялық алгебраның таза бөлігі болып табылады. Нәтиженің түрі – басқа коэффициенттер A қолданылуы мүмкін, бірақ бұл үшін Tor функторын пайдалану керек. Мысалы, A-ны 'Z'/2'Z' деп қабылдау жиі кездеседі, сондықтан коэффициенттер 2-ге дейін алынады. Бұл гомологияда 2-торсия болмаған жағдайда оңайырақ болады. Жалпы алғанда, нәтиже X-тің Betti сандары bi және F өрісіндегі коэффициенттері бар Betti сандары bi,F арасындағы байланысты көрсетеді. Олар өзгеше болуы мүмкін, бірақ F өрісінің сипаттамасы p жай саны болғанда ғана, және гомологияда p-торсия болғанда ғана.

Гомология жағдайын сипаттау

Hi(X; 'Z') ⊗ A модульдерінің тензорлық көбейтіндісін қарастырайық. Теоремада Tor функторына қатысты қысқа дәл тізбек бар екендігі көрсетілген.

Сонымен қатар, бұл тізбек бөлінеді, бірақ табиғи емес. Мұнда μ – Hi(X; 'Z') × A → Hi(X; A) билинейрлік картасымен шақырылған карта. Егер коэффициент сақинасы A, 'Z'/p'Z' болса, бұл Бокштейн спектрлік тізбегінің ерекше жағдайы болып табылады.