Введение

Установление связей между теориями гомологии и кохомологии. В алгебраической топологии универсальные теоремы о коэффициентах устанавливают связи между группами гомологии (или группами кохомологии) с различными коэффициентами. Например, для любого топологического пространства X его интегральные группы гомологии:

Hi(X; ℤ)

полностью определяют его группы гомологии с коэффициентами в A, для любой абелевой группы A:

Hi(X; A)

Здесь Hi может быть симплициальной гомологией или, в более общем случае, сингулярной гомологией. Стандартное доказательство этого результата представляет собой чисто алгебраическое исследование цепных комплексов свободных абелевых групп. Формулировка результата такова, что можно использовать другие коэффициенты A, но при этом необходимо использовать функтор Tor. Например, часто выбирают A = ℤ/2ℤ, чтобы коэффициенты были по модулю 2. Это упрощается при отсутствии 2-кручения в гомологии. В общем случае, результат указывает на связь между числами Бетти bi пространства X и числами Бетти bi,F с коэффициентами в поле F. Они могут различаться, но только когда характеристика поля F является простым числом p, для которого в гомологии существует p-кручение.

Описание случая гомологии

Рассмотрим тензорное произведение модулей Hi(X; Z) ⊗ A. Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность, включающая функтор Tor. Кроме того, эта последовательность расщепляется, хотя и не канонически. Здесь μ — отображение, индуцированное билинейным отображением Hi(X; Z) × A → Hi(X; A). Если коэффициентное кольцо A равно Z/pZ, это частный случай спектральной последовательности Бокштейна.