Кіріспе
Кванттық байланыс теориясындағы негізгі ұғым. Кванттық ақпарат теориясында кванттық арна – кванттық және классикалық ақпаратты жеткізе алатын байланыс арнасы. Кванттық ақпарат мысалы – кубит күйі. Классикалық ақпарат мысалы – интернет арқылы жіберілетін мәтіндік құжат. Формальды түрде кванттық арналар – операторлар кеңістіктері арасындағы толық оң (CP) және ізді сақтайтын түрлендірулер. Басқаша айтқанда, кванттық арна – жүйенің қысқартылған динамикасы ретінде ғана емес, кванттық ақпаратты жеткізуге бағытталған құбыржол ретінде қарастырылатын кванттық операция. (Кейбір авторлар "кванттық операция" терминін ізді азайтатын түрлендірулерді де қамту үшін пайдаланады, ал "кванттық арна" терминін қатаң түрде ізді сақтайтын түрлендірулерге ғана қолданады.)
In quantum information theory, a quantum channel is a communication channel which can transmit quantum information, as well as classical information. An example of quantum information is the state of a qubit. An example of classical information is a text document transmitted over the Internet. More formally, quantum channels are completely positive (CP) trace preserving maps between spaces of operators. In other words, a quantum channel is just a quantum operation viewed not merely as the reduced dynamics of a system but as a pipeline intended to carry quantum information. (Some authors use the term "quantum operation" to also include trace decreasing maps while reserving "quantum channel" for strictly trace preserving maps.)
Жадысыз кванттық арна
Біз қаралған жүйелердің барлық күй кеңістіктері, классикалық немесе кванттық, шекті өлшемді деп есептейміз. Бөлім тақырыбындағы «жадсыздық» термині классикалық ақпарат теориясындағымен бірдей мағынаны білдіреді: каналдың белгілі бір уақыттағы шығысы тек сәйкес кіріске ғана тәуелді, ал бұрынғы кірістерге емес.
Шредингер суреті
Кванттық ақпаратты ғана жеткізетін кванттық арналарды қарастырайық. Бұл – дәл кванттық операция, оның қасиеттерін енді жинақтаймыз. және арнаның жіберуші және қабылдаушы жақтарының күй кеңістіктері (шексіз өлшемді Гильберт кеңістіктері) болсын. – кеңістіктегі операторлар жиынтығымен белгіленеді. Шредингер суретінде, таза кванттық арна – – және кеңістіктерінде әрекет ететін тығыздық матрицалары арасындағы келесі қасиеттері бар түрлендіру:
Кванттық механиканың постулаттарына сәйкес, ол сызықты болуы керек. Тығыздық матрицалары оң болғандықтан, оң элементтердің конусын сақтауы тиіс. Басқаша айтқанда, бұл оң түрлендіру. Егер кез келген шекті өлшемді n анцилласы жүйеге қосылса, онда туындаған түрлендіру, мұндағы In – анцилла бойынша сәйкестік түрлендіруі, сондай-ақ оң болуы керек. Сондықтан, барлық n үшін оң болуы талап етіледі. Мұндай түрлендірулер толық оң деп аталады. Тығыздық матрицаларының іздері 1-ге тең болғандықтан, түрлендіру ізді сақтауы керек. Түрлендіруді сипаттау үшін қолданылатын «толық оң» және «ізді сақтау» сипаттамалары кейде CPTP деп қысқартылады. Әдебиетте кейде төртінші қасиет жеңілдетіледі, яғни түрлендіру тек ізді арттырмауы керек. Осы мақалада барлық арналар CPTP болады деп есептейміз.
Гейзенберг суреті
Тығыздық матрицалары тек ғана HA-дағы операторлардың тиісті жиынтығын құрайды, және B жүйесі үшін де осы айтуға болады. Бірақ, тығыздық матрицалары арасындағы сызықтық бейнелеу көрсетілген кезде, стандартты сызықтық аргумент және шекті өлшемділік болжамы операторлардың толық кеңістігіне бірегей кеңейтуге мүмкіндік береді. Бұл Heisenberg суретіндегі серіктес бейнелеуге алып келеді, ол мынаны сипаттайды:
The spaces of operators L(HA) and L(HB) are Hilbert spaces with the Hilbert–Schmidt inner product. Therefore, viewing as a map between Hilbert spaces, we obtain its adjoint * given by
While takes states on A to those on B, maps observables on system B to observables on A. This relationship is same as that between the Schrödinger and Heisenberg descriptions of dynamics. The measurement statistics remain unchanged whether the observables are considered fixed while the states undergo operation or vice versa. It can be directly checked that if is assumed to be trace preserving, is unital, that is,. Physically speaking, this means that, in the Heisenberg picture, the trivial observable remains trivial after applying the channel.
Операторлар кеңістіктері L(HA) және L(HB) – Hilbert-Schmidt ішкі көбейтіндісімен жабдықталған Hilbert кеңістіктері. Сондықтан, оны Hilbert кеңістіктері арасындағы бейнелеу ретінде қарастыра отырып, оның серіктес бейнелеуін * аламыз, ол A жүйесіндегі күйлерді B жүйесіндегі күйлерге, ал B жүйесіндегі байқалатындарды A жүйесіндегі байқалатындарға бейнелейді. Бұл қатынас Шредингер және Гейзенберг динамика сипаттамалары арасындағы қатынасқа тең. Байқалатындар операция кезінде немесе керісінше өзгермейтін болса, өлшем статистикасы өзгеріссіз қалады. Егер бейнелеу ізді сақтайтын болса, онда оның бірлік екендігін тікелей тексеруге болады, яғни. Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл Гейзенберг суретінде канал қолданылғаннан кейін тривиальды байқалатын тривиальды күйінде қала береді дегенді білдіреді.
The spaces of operators L(HA) and L(HB) are Hilbert spaces with the Hilbert–Schmidt inner product. Therefore, viewing as a map between Hilbert spaces, we obtain its adjoint * given by
While takes states on A to those on B, maps observables on system B to observables on A. This relationship is same as that between the Schrödinger and Heisenberg descriptions of dynamics. The measurement statistics remain unchanged whether the observables are considered fixed while the states undergo operation or vice versa. It can be directly checked that if is assumed to be trace preserving, is unital, that is,. Physically speaking, this means that, in the Heisenberg picture, the trivial observable remains trivial after applying the channel.
Классикалық ақпарат
Осы уақытқа дейін тек кванттық ақпаратты жеткізетін кванттық арнаны ғана анықтадық. Кіріспеде айтылғандай, арнаның кіріс және шығысы классикалық ақпаратты да қамти алады. Мұны сипаттау үшін, осы уақытқа дейін берілген тұжырымдаманы сәл жалпылау қажет. Гейзенберг кескіндемесінде таза кванттық арна – операторлар кеңістіктері арасындағы Ψ сызықтық бейнелеуі: ол бірлікке ие және толық оң (CP). Операторлар кеңістіктерін шекті өлшемді C* алгебралар ретінде қарастыруға болады. Сондықтан, арнаны C* алгебралар арасындағы бірлікке ие CP бейнелеуі деп айтуға болады: Классикалық ақпаратты осы тұжырымдамаға қосуға болады. Классикалық жүйенің байқалатын шамалары коммутативті C* алгебра деп қарастырылады, яғни, кейбір жиынтықтағы үздіксіз функциялар кеңістігі. Біз жиынтықтың шекті болғанын болжаймыз, сондықтан оны n-өлшемді Евклид кеңістігімен, компоненттік көбейту арқылы сәйкестендіруге болады. Сондықтан, егер классикалық ақпарат, мысалы, кірістің бір бөлігі болса, онда біз Ψ-ны тиісті классикалық байқалатын шамаларды қамту үшін анықтаймыз. Бұған мысал ретінде канал келтіруге болады. Байқап қойыңыз, Ψ әлі де C* алгебрасы болып табылады. C* алгебрасының элементі оң деп аталады, егер ол үшін оңдық картасы анықталған болса. Бұл сипаттама барлық жағдайда қабылданбайды; кванттық құрал кейде кванттық және классикалық ақпаратты жеткізудің жалпыланған математикалық құралы ретінде ұсынылады. Кванттық механиканың аксиоматизацияларында классикалық ақпарат Фробен алгебрасында немесе Фробен категориясында көтеріледі.
that is unital and completely positive (CP). The operator spaces can be viewed as finite dimensional C* algebras. Therefore, we can say a channel is a unital CP map between C* algebras:
Classical information can then be included in this formulation. The observables of a classical system can be assumed to be a commutative C* algebra, i. e. the space of continuous functions on some set We assume is finite so can be identified with the n dimensional Euclidean space with entry wise multiplication. Therefore, in the Heisenberg picture, if the classical information is part of, say, the input, we would define to include the relevant classical observables. An example of this would be a channel
Notice is still a C* algebra. An element of a C* algebra is called positive if for some Positivity of a map is defined accordingly. This characterization is not universally accepted; the quantum instrument is sometimes given as the generalized mathematical framework for conveying both quantum and classical information. In axiomatizations of quantum mechanics, the classical information is carried in a Frobenius algebra or Frobenius category.
Телепортация
Кванттық телепортацияда жіберуші бөлшектің кез келген кванттық күйін, мүмкін алысқа орналасқан қабылдаушыға жеткізуді қалайды. Осылайша, телепортация процесі – кванттық канал болып табылады. Процестің өзі үшін, түйіскен күйдегі бір бөлшекті қабылдаушыға жеткізу үшін кванттық канал қажет. Телепортация жіберілген бөлшек пен қалған түйіскен бөлшекке бірлесіп өлшеу арқылы жүзеге асады. Бұл өлшеу нәтижесінде классикалық ақпарат пайда болады, оны телепортацияны аяқтау үшін қабылдаушыға жіберу керек. Маңыздысы, классикалық ақпарат кванттық канал жойылғаннан кейін де жіберілуі мүмкін.
Эксперименттік жағдайда
Эксперименттік тұрғыдан алғанда, кванттық арнаның қарапайым іске асырылуы – бұл жеке фотондардың оптикалық талшықтар (немесе бос кеңістік) арқылы берілуі. Жеке фотондар стандартты оптикалық талшықтармен 100 км-ге дейін жоғалтулар басым болмай тұрып беріле алады. Фотонның келу уақыты (уақыттық байланыс) немесе поляризациясы кванттық криптография сияқты мақсаттар үшін кванттық ақпаратты кодтау үшін негіз ретінде қолданылады. Арна тек негізгі күйлерді (мысалы, |0⟩, |1⟩) ғана емес, сонымен қатар олардың суперпозицияларын (мысалы, α|0⟩ + β|1⟩) да жеткізе алады. Кванттық күйдің когеренттілігі арна арқылы берілу кезінде сақталады. Бұл сымдар арқылы электр импульстарын берумен (классикалық арна) салыстырылса, онда тек классикалық ақпарат (мысалы, 0 және 1) жіберіле алады.
Каналды сақтау
Кванттық арна ақпаратты қаншалықты жақсы сақтайтынын бағалаудың тағы бір өлшемі – арнаның сенімділігі, ол кванттық күйлердің сенімділігінен туындайды.
Бистохастикалық кванттық арна
Бистохастикалық кванттық арна – бұл унитарлы, яғни бірлікке тең болатын кванттық арна.