Введение

Основополагающий объект в квантовой теории связи. В квантовой теории информации квантовый канал — это канал связи, способный передавать квантовую и классическую информацию. Примером квантовой информации является состояние кубита, а примером классической информации — текстовый документ, передаваемый по сети Интернет. Более формально, квантовые каналы представляют собой полностью положительные (CP) отображения, сохраняющие след, между пространствами операторов. Иными словами, квантовый канал — это квантовая операция, рассматриваемая не только как редуцированная динамика системы, но и как канал для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция» также для отображений, уменьшающих след, а термин «квантовый канал» — исключительно для отображений, строго сохраняющих след.)

Квантовый канал без памяти

Мы предположим на данный момент, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классических или квантовых, являются конечномерными. Термин "без памяти" в названии раздела имеет такое же значение, как и в классической теории информации: выход канала в определенный момент времени зависит только от соответствующего входа и не зависит от предыдущих.

Картина Шредингера

Рассмотрим квантовые каналы, которые передают только квантовую информацию. Это как раз кванственная операция, свойства которой мы сейчас обобщим. Пусть и будут пространствами состояний (конечномерными пространствами Гильберта) передающей и принимающей сторон канала, соответственно. обозначит семейство операторов на . В картине Шрёдингера чисто квантовый канал представляет собой отображение между матрицами плотности, действующих на и , обладающее следующими свойствами: Как того требуют постулаты квантовой механики, должно быть линейным. Поскольку матрицы плотности положительны, должно сохранять конус положительных элементов. Иными словами, является положительным отображением. Если к системе присоединена вспомогательная система (анцилла) произвольной конечной размерности n, то индуцированное отображение , где – тождественное отображение на анцилле, также должно быть положительным. Следовательно, требуется, чтобы было положительным для всех n. Такие отображения называются полностью положительными. Матрицы плотности нормированы, то есть имеют след 1, поэтому должно сохранять след. Прилагательные "полностью положительное" и "сохраняющее след", используемые для описания отображения, иногда сокращенно обозначаются CPTP. В литературе иногда четвертое свойство ослабляют, требуя лишь, чтобы не увеличивало след. В данной статье будем считать, что все каналы являются CPTP.

Картина Гейзенберга

Матрицы плотности, действующие на HA, составляют лишь собственное подмножество операторов на HA, и то же самое справедливо для системы B. Однако, как только задано линейное отображение между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности, в сочетании с предположением о конечномерности, позволяет нам однозначно расширить его на все пространство операторов. Это приводит к сопряженному отображению , которое описывает действие в картине Гейзенберга:

Пространства операторов L(HA) и L(HB) являются гильбертовыми пространствами с внутренним произведением Гильберта — Шмидта. Поэтому, рассматривая как отображение между гильбертовыми пространствами, мы получаем его сопряжение * , заданное как

В то время как отображает состояния на A в состояния на B, отображает наблюдаемые на системе B в наблюдаемые на A. Эта связь аналогична связи между описаниями динамики Шредингера и Гейзенберга. Статистика измерений остается неизменной, независимо от того, считаются ли наблюдаемые фиксированными, а состояния изменяются под действием операции, или наоборот. Можно непосредственно проверить, что если предполагается сохранение следа, то является унитарным, то есть . Физически это означает, что в картине Гейзенберга тривиальное наблюдаемое остается тривиальным после применения канала.

Классическая информация

До сих пор мы определили только квантовый канал, передающий исключительно квантовую информацию. Как указано во введении, входные и выходные данные канала могут включать и классическую информацию. Чтобы это описать, представленные до сих пор формулировки необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в картине Гейзенберга представляет собой линейное отображение Ψ между пространствами операторов:

которое является унитарным и полностью положительным (CP). Пространства операторов можно рассматривать как конечномерные C*-алгебры. Следовательно, можно сказать, что канал – это унитарное CP-отображение между C*-алгебрами:

Классическую информацию можно включить в эту формулировку. Наблюдаемые классической системы можно рассматривать как коммутативную C*-алгебру, то есть пространство непрерывных функций на некотором множестве. Если предположить, что множество конечно, то оно может быть отождествлено с n-мерным евклидовым пространством с поэлементным умножением. Таким образом, в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, входа, мы определим Ψ так, чтобы оно включало соответствующие классические наблюдаемые. Примером может служить канал

Заметим, что это по-прежнему C*-алгебра. Элемент C*-алгебры называется положительным, если существует такое , что . Положительность отображения определяется соответствующим образом. Эта характеристика не является общепринятой; квантовый инструмент иногда представляется как обобщенная математическая структура для передачи как квантовой, так и классической информации. В аксиоматических построениях квантовой механики классическая информация переносится в алгебре Фробениуса или категории Фробениуса.

Телепортация

В квантовой телепортации отправитель стремится передать произвольное квантовое состояние частицы потенциально удалённому получателю. Следовательно, процесс телепортации представляет собой квантовый канал. Аппарат для осуществления этого процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния получателю. Телепортация происходит посредством совместного измерения передаваемой частицы и оставшейся запутанной частицы. Результатом этого измерения является классическая информация, которую необходимо отправить получателю для завершения телепортации. Важно отметить, что классическую информацию можно отправить уже после прекращения существования квантового канала.

В экспериментальной обстановке

Экспериментально, простейшей реализацией квантового канала является передача одиночных фотонов по оптоволокну (или в свободном пространстве). Одиночные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км в стандартном оптоволокне, прежде чем потери станут доминирующими. Время прибытия фотона (временная запутанность) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации, например, для квантовой криптографии. Канал способен передавать не только базисные состояния (например, |0⟩, |1⟩), но и их суперпозиции (например, α|0⟩ + β|1⟩). Когерентность состояния сохраняется при передаче по каналу. В отличие от передачи электрических импульсов по проводам (классического канала), где может быть передана только классическая информация (например, 0 и 1).

Верность канала

Еще одна мера того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется надежностью канала, и она вытекает из надежности квантовых состояний.

Бистохастический квантовый канал

Бистохастический квантовый канал — это квантовый канал, который унитарен, то есть .