Кіріспе
Топологиялық кеңістіктің түрі
Математикада, нақты проективті кеңістік, \mathbb{RP}^n немесе \mathbb{P} n(\R) деп белгіленеді, — нақты кеңістік \R^{n+1}-дегі бастапқы нүкте 0-ден өтетін түзулердің топологиялық кеңістігі. Ол n өлшемді, тығыз және тегіс манифольд болып табылады, сондай-ақ Грасман кеңістігінің \mathbf{Gr}(1, \R^{n+1}) ерекше жағдайы.
Құрылыс
Барлық проективті кеңістіктер сияқты, RPn теңдестік қатынасы x ∼ λx бойынша, барлық λ ≠ 0 нақты сандары үшін бөлу арқылы құралады. Кез келген x үшін, λx нормасы 1-ге тең болатындай λ табуға болады. Мұндай λ-ның екі мәні белгісімен ғана ерекшеленеді. Осылайша, RPn-ді Rn+1 кеңістігіндегі n-шардың (Sn) бірлігіндегі антиподальді нүктелерді теңестіру арқылы да құруға болады. Sn-нің жоғарғы жарты шармен шектеліп, тек шекаралық экватордағы антиподальді нүктелерді теңестіру жеткілікті. Бұл RPn жабық n-өлшемді диск Dn-ге де тең екенін көрсетеді, мұнда шекарадағы антиподальді нүктелер, 1=∂D^(n) = S^(n-1, теңестірілген.
Төмен өлшемді мысалдар
RP1 нақты проекциялық түзу деп аталады, ол топологиялық тұрғыдан шеңберге тең. RP2 нақты проекциялық жазықтық деп аталады. Бұл кеңістікті R3-ке ендіру мүмкін емес. Дегенмен, оны R4-ке ендіруге болады және R3-ке батыруға болады (қараңыз). Проективті n кеңістігінің ендірілуі және батырылуы мәселелері жақсы зерттелген. RP3, SO(3)-ке гомеоморфты, сондықтан топтық құрылымға ие; S3 → RP3 жабылу картасы Spin(3) → SO(3) болып табылады, мұнда Spin(3) – SO(3) үшін әмбебап жабын болып табылатын Лай тобы.
Топология
n сферадағы антиподальдік бейнелеу (x-ті −x-ке жіберуші бейнелеу) Sn-де Z2 топтық әрекетін тудырады. Жоғарыда айтылғандай, осы әрекеттің орбиталық кеңістігі RPn болып табылады. Бұл әрекет, іс жүзінде, Sn-ді RPn-нің екі еселі жабылуы ретінде беретін жабу әрекеті болып табылады. Sn, n ≥ 2 үшін жай ғана байланысқандықтан, бұл жағдайларда ол әмбебап жабу ретінде де қызмет етеді. Осыдан RPn-нің негізгі тобы n > 1 болғанда Z2-ге тең екендігі шығады. (n = 1 болғанда негізгі топ S1-мен гомеоморфтық байланысқа ие болғандықтан Z болып табылады). Негізгі топтың генераторы – Sn-дегі антиподальдік нүктелерді RPn-ге проекциялайтын кез келген қисықтың жабық қисығы. Проективті n кеңістігі тығыз, байланысқан және 2-ретті циклдік топқа изоморфты негізгі тобы бар: оның әмбебап жапқыш кеңістігі n сферадан антиподальдік бөлу картасы арқылы беріледі, бұл жай ғана байланысқан кеңістік. Бұл екі еселі жабу. Rp-дегі антипод картасының таңбасы бар, сондықтан ол тек қана p жұп болғанда ғана бағытты сақтайды. Бағдарлау мінездемесі былай: тривиальды емес цикл бағдарлауға әсер етеді, сондықтан RPn тек қана n + 1 жұп болғанда ғана бағдарлана алады, яғни n тақ болғанда. Проективті n кеңістігі, іс жүзінде, R((n+1)2) кеңістігіндегі субкөптүрлілікке диффеоморфты, ол 1-ші ізге ие және сонымен қатар тең потенциялық сызықтық түрлендірулер болып табылатын барлық симметриялық (n + 1) × (n + 1) матрицаларынан тұрады.
Нақты проекциялық кеңістіктердің геометриясы
Нақты проекциялық кеңістік стандартты дөңгелек сфераның екі есе жамылғысынан туындайтын тұрақты оң скалярлық қисықтық метрикасын қабылдайды (антиподальдық бейнелеу жергілікті түрде изометрия болып табылады). Стандартты дөңгелек метрика үшін, бұл жерде қисықтық секциясы тұрақты 1-ге тең. Стандартты дөңгелек метрикада проективті кеңістіктің өлшемі сфераның өлшемінің жартысына тең.
Сүлгілі құрылым
Нағыз проекциялық кеңістіктер тегіс манифольдтар болып табылады. Sn-де, гомогенді координаттарда (x1, …, xn+1), xi ≠ 0 шартымен Ui жиынтығын қарастырайық. Әр Ui, Rn-дегі екі ашық бірлік шардың ажыратылған қосындысына гомеоморфты, олардың бәрі де RPn-нің бір жиынтығына бейнеленеді, ал координаттар ауысу функциялары тегіс. Бұл RPn-ге тегіс құрылым береді.
Таутологиялық топтамалар
Нақты проекциялық кеңістіктің үстінде таутологиялық түйін деп аталатын табиғи сызық түйіні жатыр. Нақтырақ айтқанда, бұл таутологиялық кіші түйін деп аталады, және таутологиялық бөлінді түйін деп аталатын екі n өлшемді түйін де бар.