Введение
Тип топологического пространства
В математике, вещественное проективное пространство, обозначаемое как \mathbb{RP}^n или \mathbb{P} n(\R), является топологическим пространством прямых, проходящих через начало координат 0 в вещественном пространстве \R^{n+1}. Это компактное, гладкое многообразие размерности n, и является частным случаем \mathbf{Gr}(1, \R^{n+1}) грассманова пространства.
Строительство
Как и во всех проективных пространствах, RPn формируется путем взятия факторпространства ℝⁿ⁺¹ по отношению эквивалентности x ∼ λx для всех действительных чисел λ ≠ 0. Для любого x из ℝⁿ⁺¹ всегда можно найти λ такое, что λx имеет норму 1. Существует ровно два таких λ, отличающихся знаком. Таким образом, RPn также можно сформировать, отождествляя антиподальные точки единичной n-сферы Sn в ℝⁿ⁺¹. Можно дополнительно ограничиться верхним полушарием Sn и отождествлять лишь антиподальные точки на границе, образующей экватор. Это показывает, что RPn также эквивалентен замкнутому n-мерному диску Dn, с отождествленными антиподальными точками на границе, ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹.
Низкомерные примеры
RP1 называется вещественной проективной прямой, топологически эквивалентной окружности. RP2 называется вещественной проективной плоскостью. Это пространство нельзя вложить в R3. Однако его можно вложить в R4 и погрузить в R3 (см. здесь). Вопросы вложимости и погружаемости для проективного n-пространства хорошо изучены. RP3 диффеоморфно SO(3) и, следовательно, допускает групповую структуру; отображение накрытия S3 → RP3 является отображением групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли, являющаяся универсальным накрытием SO(3).
Топология
Антиподная карта на n-сфере (отображение, посылающее x в −x) порождает групповое действие Z2 на Sn. Как упоминалось выше, орбитальное пространство для этого действия — RPn. Это действие фактически является действием накрытия, дающим Sn в качестве двукратного накрытия RPn. Поскольку Sn простосвязно для n ≥ 2, оно также служит универсальным покрытием в этих случаях. Следовательно, фундаментальная группа RPn равна Z2 при n > 1. (При n = 1 фундаментальная группа изоморфна Z из-за гомеоморфизма с S1). Генератором фундаментальной группы является замкнутая кривая, полученная проецированием любой кривой, соединяющей антиподальные точки в Sn, на RPn. Проективное n-пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: его универсальное покрывающее пространство задается антиподальным отображением-частным на n-сфере, которая является простосвязным пространством. Это двойное накрытие. Антиподное отображение на Rp имеет знак, поэтому оно сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда p четно. Характер ориентации таков: нетривиальная петля действует как изменение ориентации, поэтому RPn ориентируемо тогда и только тогда, когда n + 1 четно, то есть n нечетно. Проективное n-пространство фактически диффеоморфно подмножеству R((n+1)2), состоящему из всех симметричных (n + 1) × (n + 1) матриц с трассой 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями.
Геометрия реальных проективных пространств
Реальное проективное пространство допускает метрику с постоянной положительной скалярной кривизной, возникающую из двойного накрытия стандартной сферы (антиподальное отображение локально является изометрией). Для стандартной круглой метрики, сечная кривизна тождественно равна 1. В стандартной круглой метрике, мера проективного пространства составляет ровно половину меры сферы.
Гладкая структура
Настоящие проективные пространства — это гладкие многообразия. На сфере Sn, в однородных координатах (x1, ..., xn+1), рассмотрим подмножество Ui, где xi ≠ 0. Каждое Ui гомеоморфно дизъюнктному объединению двух открытых единичных шаров в Rn, которые отображаются в одно и то же подмножество RPn, а функции перехода координат гладкие. Это наделяет RPn гладкой структурой.
Тавтологические пакеты
Реальное проективное пространство имеет естественный расслоение прямых над ним, называемое тавтологическим расслоением. Более точно, это называется тавтологическим подрасслоением, а также существует двойное n-мерное расслоение, называемое тавтологическим фактор-расслоением.