Кіріспе
Сызықтық алгебралық топтардың бейнелеу теориясындағы теорема. Математикада Лие-Колчин теоремасы – сызықтық алгебралық топтардың бейнелеу теориясындағы теорема; Лие теоремасы сызықтық Лие алгебралары үшін аналогты болып табылады. Ол егер G алгебралық жабық дала үстінде анықталған және шешілетін сызықтық алгебралық топ болса және V нөлдік емес, шекті өлшемді векторлық кеңістікте бейнеленсе, онда V-тің бір өлшемді сызықтық L ішкі кеңістігі болады, яғни G, L инвариантты түзуі бойынша бір өлшемді бейнелеу арқылы әрекет етеді. Бұл V-де барлық дерлік (бірдей) өзіндік вектор болып табылатын нөлдік емес вектор v бар екендігіне тең. Осыдан тікелей шығады, шешілетін сызықтық алгебралық топ G-нің кез келген іргесіз шекті өлшемді бейнелеуінің өлшемі бірге тең. Шындығында, бұл Лие-Колчин теоремасын тұжырымдаудың тағы бір жолы. Лие алгебралары үшін нәтиже дәлелденді, ал алгебралық топтар үшін Borel-дің тұрақты нүкте теоремасы Лие-Колчин теоремасын жалпылайды.
In mathematics, the Lie–Kolchin theorem is a theorem in the representation theory of linear algebraic groups; Lie's theorem is the analog for linear Lie algebras. It states that if G is a connected and solvable linear algebraic group defined over an algebraically closed field and
a representation on a nonzero finite dimensional vector space V, then there is a one dimensional linear subspace L of V such that
That is, ρ(G) has an invariant line L, on which G therefore acts through a one dimensional representation. This is equivalent to the statement that V contains a nonzero vector v that is a common (simultaneous) eigenvector for all
It follows directly that every irreducible finite dimensional representation of a connected and solvable linear algebraic group G has dimension one. In fact, this is another way to state the Lie–Kolchin theorem. The result for Lie algebras was proved by and for algebraic groups was proved by
The Borel fixed point theorem generalizes the Lie–Kolchin theorem.
Үшбұрыштылық
Кейде теореманы Лей–Колчиннің үшбұрыштылау теоремасы деп те атайды, себебі индукция арқылы ол V кеңістігінің қолайлы негізінде бейнеленген суреттің үшбұрышты пішіні бар екенін көрсетеді; яғни, сурет тобы GL(n,K) (мұнда n = dim V) жоғарғы үшбұрышты матрицалардың T тобының кіші тобына, GL(n,K-нің стандартты Борель кіші тобына серік болады: сурет бір уақытта үшбұрышты түрге келтіріледі. Теорема, әсіресе, жартылай жай сызықтық алгебралық топтың Борель кіші тобына қолданылады.
Қарсы мысал
Егер K өрісі алгебралық жабық болмаса, теорема орындалмауы мүмкін. Абсолюттік шамасы бірге тең кешенді сандар жиынтығы ретінде қарастырылған стандартты бірлік шеңбер – нақты сандар арқылы анықталған бір өлшемді коммутативті (демек, шешілетін) сызықтық алгебралық топ, және оның екі өлшемді бейнелеуі арнайы ортогоналды топ SO(2) ішіне инвариантты (нақты) түзусіз енгізіледі. Мұндағы бейне – ортогоналды матрица болып табылады.