Введение
Теорема в теории представлений линейных алгебраических групп. В математике теорема Ли – Колчина — это теорема в теории представлений линейных алгебраических групп; теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли. Она утверждает, что если G — связная и разрешимая линейная алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем, и ρ — представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V, то существует одномерное линейное подпространство L пространства V, такое что
In mathematics, the Lie–Kolchin theorem is a theorem in the representation theory of linear algebraic groups; Lie's theorem is the analog for linear Lie algebras. It states that if G is a connected and solvable linear algebraic group defined over an algebraically closed field and
a representation on a nonzero finite dimensional vector space V, then there is a one dimensional linear subspace L of V such that
That is, ρ(G) has an invariant line L, on which G therefore acts through a one dimensional representation. This is equivalent to the statement that V contains a nonzero vector v that is a common (simultaneous) eigenvector for all
It follows directly that every irreducible finite dimensional representation of a connected and solvable linear algebraic group G has dimension one. In fact, this is another way to state the Lie–Kolchin theorem. The result for Lie algebras was proved by and for algebraic groups was proved by
The Borel fixed point theorem generalizes the Lie–Kolchin theorem.
То есть, ρ(G) имеет инвариантную прямую L, на которой G, следовательно, действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v, который является общим (одновременным) собственным вектором для всех элементов G. Из этого непосредственно следует, что каждое неприводимое конечномерное представление связной и разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность один. Фактически, это еще один способ сформулировать теорему Ли – Колчина. Результат для алгебр Ли был доказан, а для алгебраических групп — теорема Бореля о неподвижных точках обобщает теорему Ли – Колчина.
In mathematics, the Lie–Kolchin theorem is a theorem in the representation theory of linear algebraic groups; Lie's theorem is the analog for linear Lie algebras. It states that if G is a connected and solvable linear algebraic group defined over an algebraically closed field and
a representation on a nonzero finite dimensional vector space V, then there is a one dimensional linear subspace L of V such that
That is, ρ(G) has an invariant line L, on which G therefore acts through a one dimensional representation. This is equivalent to the statement that V contains a nonzero vector v that is a common (simultaneous) eigenvector for all
It follows directly that every irreducible finite dimensional representation of a connected and solvable linear algebraic group G has dimension one. In fact, this is another way to state the Lie–Kolchin theorem. The result for Lie algebras was proved by and for algebraic groups was proved by
The Borel fixed point theorem generalizes the Lie–Kolchin theorem.
Триангуляризация
Иногда эту теорему также называют теоремой триангуляризации Ли — Колчина, поскольку по индукции из неё следует, что относительно подходящего базиса V образ имеет треугольную структуру; иными словами, группа-образ сопряжена в GL(n, K) (где n = dim V) с подгруппой группы T верхнетреугольных матриц, стандартной подгруппой Бореля в GL(n, K): образ одновременно приводима к треугольному виду. В частности, теорема применима к подгруппе Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.
Контрпример
Если поле K не является алгебраически замкнутым, теорема может не выполняться. Стандартный единичный круг, рассматриваемый как множество комплексных чисел с абсолютной величиной один, является одномерной коммутативной (и, следовательно, разрешимой) линейной алгебраической группой над полем вещественных чисел, имеющей двумерное представление в специальную ортогональную группу SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. В этом случае образ является ортогональной матрицей.