Кіріспе
Математикада күрделі кобордизм — көпқырлылық кобордизмімен байланысты жалпыланған когомология теориясы. Оның спектрі MU деп белгіленеді. Бұл өте қуатты когомология теориясы, бірақ оны есептеу қиын болуы мүмкін, сондықтан оны тікелей қолданудың орнына, одан туындаған, сәл әлсіз теорияларды, мысалы, Браун-Петерсон когомологиясын немесе Морава К теориясын қолдану жиі кездеседі, оларды есептеу оңайырақ. Жалпыланған гомология және когомология кешенді кобордизм теориялары Том спектрін қолдану арқылы енгізілді.
Күрделі кобордтық спектр
Кеңістіктің күрделі бордизмі – тұрақты нормальды бундельдегі күрделі сызықтық құрылыммен жабық көптүліктің бордизм кластарының тобы. Күрделі бордизм – жалпыланған гомология теориясы, оны Том кеңістіктері арқылы нақты сипаттауға болады. Бұл кеңістік – бірлік тобының классификациялық кеңістігіндегі әмбебап жазықтық бундельінің Том кеңістігі. Табиғи кіріктіруден екі есе тоқтатудан карта туындайды. Бұл карталар бірге спектрді құрайды; атап айтқанда, бұл гомотопиялық колимит. Мысалдар: сфера спектрі. Нильпотенция теоремасы былай гласиды: кез келген сақиналық спектр үшін , ядросы нильпотентті элементтерден тұрады. Теорема, әсіресе, егер сфера спектрі болса, онда кез келген үшін, оның әрбір элементі нильпотентті болады (Горо Нишида теоремасы). (Дәлелдеме: егер , онда ол бұрылыс элементі, бірақ оның Лазард сақинасындағы бейнесі бұрылыс бола алмайды, өйткені ол полиномиалдық сақина. Демек, ол ядрода болуы керек.)
Examples: is the sphere spectrum. is the desuspension of
The nilpotence theorem states that, for any ring spectrum , the kernel of consists of nilpotent elements. The theorem implies in particular that, if is the sphere spectrum, then for any , every element of is nilpotent (a theorem of Goro Nishida). (Proof: if is in , then is a torsion but its image in , the Lazard ring, cannot be torsion since is a polynomial ring. Thus, must be in the kernel.)
Браун-Петерсон кохомологиясы
Рационалдардағы күрделі кобордизмді қарапайым кохомологияға дейін келтірілуі мүмкін, сондықтан басты назар күрделі кобордизмнің бұрылысына аудалады. Бұрылысты зерттеудің ең оңай жолы – MU-ды p-ге локализациялау, яғни p-ге жатпайтын бұрылысты жою. MU-дың p-ге локализациясы MUp, Браун-Петерсон кохомологиясы деп аталатын қарапайым кохомология теориясының тоқтатылуларының қосындысы ретінде бөлінеді. Көп жағдайда күрделі кобордизммен емес, Браун-Петерсон кохомологиясымен есептеулер жасау ыңғайлы. Барлық p үшін кеңістіктің Браун-Петерсон кохомологиясын білу, шамамен, оның күрделі кобордизмін білумен тең.