Введение
В математике, комплексный кобордизм — это обобщённая теория когомологий, связанная с кобордизмом многообразий. Его спектр обозначается MU. Это исключительно мощная теория когомологий, однако её вычисление может быть довольно сложным, поэтому часто вместо непосредственного использования применяют некоторые несколько более слабые теории, вытекающие из неё, такие как когомологии Брауна — Петерсона или теория Моравы K, которые легче вычислять. Обобщённые теории гомологий и когомологий комплексного кобордизма были введены с использованием спектра Тома.
Спектр сложного кобордизма
Комплексный бордизм пространства — это, грубо говоря, группа классов бордизма многообразий над с комплексной линейной структурой на стабильном нормальном расслоении. Комплексный бордизм является обобщённой теорией гомологий, соответствующей спектру MU, который можно явно описать в терминах пространств Тома следующим образом. Пространство является пространством Тома универсального плоского расслоения над классифицирующим пространством унитарной группы. Естественное включение из в индуцирует отображение из двойной суспензии в. Вместе эти отображения задают спектр ; а именно, это гомотопический колимит. Примеры: является спектром сферы. является десуспензией.
Examples: is the sphere spectrum. is the desuspension of
The nilpotence theorem states that, for any ring spectrum , the kernel of consists of nilpotent elements. The theorem implies in particular that, if is the sphere spectrum, then for any , every element of is nilpotent (a theorem of Goro Nishida). (Proof: if is in , then is a torsion but its image in , the Lazard ring, cannot be torsion since is a polynomial ring. Thus, must be in the kernel.)
Теорема о нильпотентности утверждает, что для любого кольцевого спектра ядро состоит из нильпотентных элементов. Теорема в частности подразумевает, что если является спектром сферы, то для любого , каждый элемент является нильпотентным (теорема Горо Нисиды). (Доказательство: если находится в , то это элемент кручения, но его образ в , кольце Лазарда, не может быть элементом кручения, поскольку является полиномиальным кольцом. Следовательно, должно находиться в ядре.)
Examples: is the sphere spectrum. is the desuspension of
The nilpotence theorem states that, for any ring spectrum , the kernel of consists of nilpotent elements. The theorem implies in particular that, if is the sphere spectrum, then for any , every element of is nilpotent (a theorem of Goro Nishida). (Proof: if is in , then is a torsion but its image in , the Lazard ring, cannot be torsion since is a polynomial ring. Thus, must be in the kernel.)
Кохомология Браун-Петерсон
Комплексный кобордизм над рациональными числами можно свести к обычной когомологии над рациональными числами, поэтому основной интерес представляет собой торсия комплексного кобордизма. Часто проще изучать торсию по одному простому числу, локализуя MU в простом числе p; грубо говоря, это означает отбрасывание торсионной части, простой относительно p. Локализация MUp кобордизма MU в простом числе p распадается в сумму суспензий более простой теории когомологии, называемой когомологией Брауна–Петерсона, впервые описанной в… На практике часто выполняют вычисления с когомологией Брауна–Петерсона, а не с комплексным кобордизмом. Знание когомологий Брауна–Петерсона пространства для всех простых чисел p примерно эквивалентно знанию его комплексного кобордизма.