Кіріспе

Алгебралық топологияда, математиканың бір саласы, спектр – жалпыланған когомология теориясын көрсететін объект. Браунның бейнелеу теоремасынан көрініп тұрғандай, әрбір мұндай когомология теориясы бейнеленеді. Бұл, берілген когомология теориясы үшін, бір кеңістіктегі *n*-дәрежедегі когомологияны есептеу, сол кеңістікке бағытталған карталардың гомотопиялық кластарын есептеумен эквивалентті, яғни. Спектрлердің бірнеше санаттары бар, бұл көптеген техникалық қиындықтарға алып келеді, бірақ олардың барлығы бір гомотопиялық категорияны анықтайды, ол тұрақты гомотопиялық категория деп аталады. Спектрлерді енгізудің маңызды себебі осы, себебі олар тұрақты гомотопиялық теорияның табиғи негізін құрайды.

Спектрдің анықтамасы

Анықтаманың көптеген нұсқалары бар: жалпы алғанда, спектр – бұл нүктеленген топологиялық кеңістіктердің немесе нүктеленген симплициалды жиындардың кез келген тізбегі, құрылымдық карталармен бірге, мұндағы соққы көбейтіндісі қарастырылады. Нүктеленген кеңістіктің шеңбермен соққы көбейтіндісі, кеңістіктің азайтылған суспензиясына гомеоморфты, ол деп белгіленеді.

Фрэнк Адамс (1974) бойынша: спектр (немесе CW спектрі) – бұл CW кешендерінің тізбегі, сонымен бірге суспензияның кірігілуі, субкешен ретінде қарастырылады.

Басқа анықтамалар үшін симметриялық спектр және симплициалды спектрге қараңыз.

Спектрдің гомотопиялық топтары

Спектрлердің ең маңызды инварианттарының бірі – спектрдің гомотопиялық топтары. Бұл топтар кеңістіктердің тұрақты гомотопиялық топтарының анықтамасын шағылыстырады, себебі аспалдау карталарының құрылымы оның анықтамасының негізгі бөлігін құрайды. Берілген спектр үшін гомотопиялық топты, картаның композициясынан (яғни, () функторы арқылы берілген) туындайтын карталар бойынша алынған колимит ретінде анықтаймыз. Егер оның теріс k мәндері үшін нөлге тең болса, онда спектр байланысты спектр деп аталады.

Айленберг пен Маклейн спектрі

Абель тобындағы коэффициенттері бар сингулярлы кохомологияны қарастырайық. CW кешені үшін, тобы гомотопиясы дәрежесінде шоғырланған Эйленберг–МакЛейн кеңістігіне картездердің гомотопиялық сыныптары жиынтығымен сәйкес келеді. Мұны былай жазамыз: . Сонда сәйкес спектрдің -шы кеңістігі болады; оны Эйленберг–МакЛейн спектрі деп атайды. Бұл құрылымды спектрлер санатына кез келген сақинаны ендіру үшін қолдануға болады. Бұл ендіру спектрлік геометрияның негізін құрайды, ол туынды алгебралық геометрияның моделі болып табылады. Бұл ендірудің маңызды қасиеттерінің бірі – спектрлер санатының коммутативтік сақиналардың туынды ақпаратын сақтайтынын көрсететін изоморфизмдер, онда шашырату көбейтіндісі туынды тензор көбейтіндісі ретінде әрекет етеді. Сонымен қатар, Эйленберг–МакЛейн спектрлерін коммутативтік сақиналар үшін топологиялық Хокшильд гомологиясы сияқты теорияларды анықтауға пайдалануға болады, бұл классикалық Хокшильд гомологиясынан гөрі күшті теория.

Топологиялық кешенді К-теориясы

Екінші маңызды мысал ретінде топологиялық K-теорияны қарастырайық. Кем дегенде X компакт болған жағдайда, ол X-тегі кешенді векторлық бундельдердің моноидінің Гротендик тобы ретінде анықталады. Сондай-ақ, ол X-тің тоқтау кеңістігіндегі векторлық бундельдерге сәйкес келеді. Топологиялық K-теория – жалпыланған когомология теориясы, сондықтан ол спектр береді. Мұндағы нөлдік кеңістік , ал бірінші кеңістік – . Бұл жерде – шексіз унитарлық топ, ал – оның жіктеу кеңістігі. Ботттың периодтылығы бойынша, барлық n үшін және аламыз, сондықтан топологиялық K-теория спектріндегі барлық кеңістіктер немесе болып табылады. Кешенді векторлық бундельдердің орнына нақты векторлық бундельдерді қолданатын сәйкес құрылым бар, ол 8 периодты спектр береді.

Шар спектрі

Сфералық спектр – спектрдің ең классикалық мысалының бірі. Оның гомотопиялық топтары сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарымен анықталады, сондықтан осы спектрді мына түрде жазуға болады: . Мұндағы шағылыс көбейтіндісі осы спектрде көбейту құрылымын береді, ал ол сақина құрылымын тудырады. Сонымен қатар, симметриялық спектрлер санатында қарастырылғанда, бұл бастапқы объектіні құрайды, коммутативті сақиналар санатындағы бірлікке ұқсас.

Том спектрлері

Спектрлердің тағы бір каноникалық мысалы – әр түрлі кобордизм теорияларын көрсететін Том спектрлерінен шығады. Мұнда нақты кобордизм, кешенді кобордизм, шеңберленген кобордизм, спин кобордизм, жіп кобордизм және т.б. кіреді. Шындығында, кез келген топологиялық топ үшін Том спектрі болады.

Асқыну спектрі

Кеңістіктен спектр құруға болады. Кеңістіктің аспа спектрі, деп белгіленеді, спектр болып табылады (құрылымдық бейнелеулер сәйкестік болып табылады). Мысалы, 0 сфераның аспа спектрі жоғарыда талқыланған сфера спектрі болып табылады. Осы спектрдің гомотопиялық топтары – бұл кеңістіктің тұрақты гомотопиялық топтары, сондықтан. Аспа спектрін құру кеңістіктің кез келгенін гомологиялық теория ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Шын мәнінде, ол CW кешендерінің гомотопиялық санатынан спектрлердің гомотопиялық санатына дейінгі функторды анықтайды. Морфизмдер Фрейдентальдің аспа теоремасы бойынша ақырында тұрақтанады. Бұл дегеніміз, және белгілі бір шекті бүтін сан үшін. CW кешені үшін спектрді алып, спектрдің шексіз циклдік кеңістігін құратын кері құрылым бар. CW кешені үшін және бұл құрылым әрбір үшін кіріктірумен бірге келеді, демек инъективті бейнелеуді береді. Өкінішке орай, бұл екі құрылым, соққы көбейтіндісін қоса алғанда, спектрлер теориясында маңызды күрделілікке әкеледі, өйткені осы құрылымдарға қатысты бес аксиома тізімін қанағаттандыратын спектрлердің жалғыз санаты болмайды. Жоғарыдағы қосымша кеңістіктер мен спектрлердің гомотопиялық санаттарында ғана жарамды, бірақ спектрлердің нақты санатымен (гомотопиялық санаты емес) әрқашан емес.

Ω-спектр

Ω спектрі — құрылымдық картаның (яғни, картаның) серігі әлсіз эквиваленттілік болатын спектр. Сақинаның K-теориясы спектрі — Ω спектрінің мысалы.

Сақиналық спектр

Сақиналық спектр — бұл сақиналық аксиомаларды соққы өнімдері арқылы сипаттайтын диаграммалардың "гомотопияға дейін" (сәйкестік бірлікке ғана) ауысатын X спектрі. Мысалы, топологиялық K-теориясы спектрі — сақиналық спектр болып табылады. Модуль спектрі де ұқсас түрде анықталуы мүмкін. Көптеген мысалдар үшін кохомология теорияларының тізіміне қараңыз.

Спектрлердің үшбұрышты гомотопиялық санаты

Тұрақты гомотопия категориясы аддитивті: гомотопиялық топтарды анықтау үшін қолданылатын жол қосылымының бір түрін пайдалану арқылы карталарды қосуға болады. Осылайша, бір спектрден екінші спектрге гомотопиялық кластар абельдік топты құрайды. Бұдан әрі, тұрақты гомотопия категориясы үшбұрышты (Vogt, 1970), мұнда ауыстыру суспензия арқылы, ал ерекше үшбұрыштар спектрлердің карталау конусының тізбектері арқылы беріледі.

Спектрлерді ұсақтау өнімдері

Спэктрлердің соққы көбейтіндісі КВ кешендерінің соққы көбейтіндісін кеңейтеді. Ол тұрақты гомотопиялық категорияны моноиділдік категорияға айналдырады; яғни, ол абельдік топтардың (туынды) тензорлық көбейтіндісі сияқты қызмет етеді. Соққы көбейтіндісінің басты мәселесі – оны анықтаудың қарапайым тәсілдері оны гомотопияға дейін ғана ассоциативті және коммутативті етеді. Жақындағы спектрлердің кейбір анықтамалары, мысалы симметриялық спектрлер, осы мәселені жояды және гомотопиялық сыныптарға көшуден бұрын карталар деңгейінде симметриялық моноиділдік құрылымды қамтамасыз етеді. Соққы көбейтіндісі үшбұрышты категория құрылымымен үйлесімді. Атап айтқанда, спектрмен соққы көбейтілген ерекше үшбұрыш – ерекше үшбұрыш болып табылады.

Тарих

1958 жылы Илон Ладжес Лиманың докторлық диссертациясында спектр тұжырымдамасының бір нұсқасы енгізілді. Оның ғылыми жетекшісі Эдвин Спаньер 1959 жылы осы тақырыптағы зерттеулерін жалғастырды. 1960 жылдардың басында Майкл Атиях және Джордж Уайтхед спектрлерді жалпыланған гомология теориялары жөніндегі жұмыстарында пайдаланды. 1964 жылы Дж. Майкл Бордман докторлық диссертациясында спектрлер категориясының және олар арасындағы бейнелердің (гомотопиялық сыныптар ғана емес) жұмыс істейтін анықтамасын берді, бұл анықтама тұрақты гомотопия теориясында CW кешендерінің категориясының тұрақсыз жағдайдағыдай пайдалы болды. (Бұл жоғарыда сипатталған категория, және ол көптеген мақсаттар үшін әлі де қолданылады: толықрақ ақпарат алу үшін Adams (1974) немесе Rainer Vogt (1970) еңбектерін қараңыз.) Дегенмен, 1990 жылдан бері спектрлердің формальды қасиеттерін едәуір жақсартатын маңызды теориялық жетістіктерге қол жеткізілді. Осының салдарынан, жақында жарық көрген көптеген ғылыми еңбектер спектрдің өңделген анықтамаларын қолданады: осы жаңа тәсілдерді біріктіре қарастыру үшін Майкл Манделл және авторлар (2001) еңбегін қараңыз.