Кіріспе
Математикадағы ұғым
Математикада редуктивті топ – өрістегі сызықтық алгебралық топтың бір түрі. Бір анықтама бойынша, егер G толық өріс бойынша байланысқан сызықтық алгебралық топ болса және оның шекті ядросы бар, сондай-ақ ол өзгеріссіз көріністердің тікелей қосындысынан тұратын бейнелеуге ие болса, онда ол редуктивті болып табылады. Редуктивті топтар математикадағы ең маңызды топтардың қатарына жатады, мысалы, кері матрицалардың жалпы сызықтық тобы GL(n), арнайы ортогональды тобы SO(n) және симплектикалық тобы Sp(2n). Қарапайым алгебралық топтар және (жалпы алғанда) жартылай қарапайым алгебралық топтар редуктивті болып табылады. Клод Шевалье редуктивті топтардың жіктелуі алгебралық жабық өріс бойынша бірдей екенін көрсетті. Атап айтқанда, қарапайым алгебралық топтар Динкин диаграммалары арқылы жіктеледі, сияқты, компактты Ли топтарының теориясында немесе күрделі жартылай қарапайым Ли алгебраларында. Кез келген өрістегі редуктивті топтарды жіктеу қиынырақ, бірақ көптеген өрістер үшін, мысалы, нақты сандар R немесе сан өрісі үшін жіктеу жақсы түсініледі. Шекті қарапайым топтардың жіктелуі бойынша, көптеген шекті қарапайым топтар G(k) тобы түрінде пайда болады, ол шекті өріс k-дегі қарапайым алгебралық топ G-нің k-ұтымды нүктелерінің тобы, немесе осы құрылымның шағын өзгерістері. Редуктивті топтар әр түрлі контексте бай бейнелеу теориясына ие. Біріншіден, алгебралық топ ретінде k өрісіндегі G редуктивті тобының бейнелеуін, яғни G-нің k векторлық кеңістіктеріндегі әрекетін зерттеуге болады. Сонымен қатар, k шекті өріс болған кезде G(k) тобының күрделі бейнелеуін, немесе нақты редуктивті топтың шексіз өлшемді унитарлық бейнелеуін, немесе аделикалық алгебралық топтың автоморфты бейнелеуін зерттеуге болады. Редуктивті топтардың құрылымдық теориясы осы барлық салаларда қолданылады.
Анықтамалар
K өрісі бойынша сызықтық алгебралық топ – GL(n) алгебралық тобының K өрісіндегі тегіс, жабық кіші топ схемасы ретінде анықталады, мұнда n – оң бүтін сан. Балама ретінде, сызықтық алгебралық топ – K өрісіндегі тегіс аффиндік топ схемасы.
Бірлік радикалмен
Алгебралық жабық өрістегі жалғастырылған сызықтық алгебралық топ, егер оның барлық тегіс жалғастырылған шешілетін қалыпты кіші топтары тривиальды болса, жартылай қарапайым деп аталады. Көбірек жалпылай, алгебралық жабық өріс үстіндегі жалғастырылған сызықтық алгебралық топ, егер оның ең үлкен тегіс жалғастырылған унипотентті қалыпты кіші тобы тривиальды болса, редуктивті деп аталады. Бұл қалыпты кіші топ унипотентті радикал деп аталады және белгіленеді (кейбір авторлар редуктивті топтардың жалғастырылған болуын талап етпейді). k кез келген өріс болғанда, егер негіздік өзгеріс жартылай қарапайым немесе редуктивті болса, сол топ жартылай қарапайым немесе редуктивті деп аталады, мұнда k-ның алгебралық жабылуы алынады. (Бұл k толық болған кезде кіріспедегі редуктивті топтардың анықтамасына тең). Кез келген torus, мысалы, Gm көбейтуші тобы, k өрісінде редуктивті болады.
Өкілдік теориясымен
Сипаттамалық нөлдік өрістерде редуктивті топтың тағы бір эквивалентті анықтамасы – алгебралық жабылуында жартылай қарапайым болып қалатын, адал жартылай қарапайым өрнеуді қабылдайтын байланысты топ, 424-бет.
Қарапайым редуктивті топтар
Егер k өрісі бойынша G сызықтық алгебралық тобы жартылай қарапайым, тривиалды емес болса, онда оны қарапайым (немесе k қарапайым) деп атайды, және G-нің k үстіндегі әрбір тегіс байланысқан қалыпты кіші тобы тривиалды немесе G-ге тең болады (кейбір авторлар бұл қасиетті "жақын қарапайым" деп атайды). Бұл абстракт топтар үшін қолданылатын терминологиядан сәл өзгеше, себебі қарапайым алгебралық топтың тривиалды емес орталығы болуы мүмкін (бірақ орталық шекті болуы керек). Мысалы, кез келген n ≥ 2 бүтін саны және кез келген k өрісі үшін, k өрісіндегі SL(n) тобы қарапайым болады, ал оның орталығы – n-ші бірлік түбірлерінің μn схемасы. Редуктивті топтардың орталық изогенісі – ядросы шекті орталық кіші топ схемасы болатын сюръективті гомоморфизм. Кез келген өрістегі редуктивті топ тордың және кейбір қарапайым топтардың көбейтіндісінен орталық изогенді қабылдайды. Мысалы, кез келген k өрісі үшін, өрістегі редуктивті топтың анықтамасы алгебралық жабылуға өтуді қамтиды. Кемел k өрісі үшін мұнан аулақ болуға болады: G сызықтық алгебралық тобы k үстінде редуктивті болады, егер және тек егер G-нің әрбір тегіс байланысқан унипотентті қалыпты k кіші тобы тривиалды болса ғана. Кездейсоқ өріс үшін соңғы қасиет псевдоредуктивті топты анықтайды, ол сәл жалпырақ.
It is slightly awkward that the definition of a reductive group over a field involves passage to the algebraic closure. For a perfect field k, that can be avoided: a linear algebraic group G over k is reductive if and only if every smooth connected unipotent normal k subgroup of G is trivial. For an arbitrary field, the latter property defines a pseudo reductive group, which is somewhat more general.
Бөлімделген редуктивті топтар
k өрісі бойынша редуктивті G тобы, егер оның ішінде k бойынша бөлінетін ең үлкен тор T болса, бөлінген деп аталады (яғни, G-дегі бөлінген тор, оның негізгі өзгерісі ең үлкен тор болып табылады). Бұл T-ның G-дегі барлық k торларының арасындағы ең үлкен бөлінген торус екенін айтумен эквивалентті. Мұндай топтар пайдалы, себебі олардың жіктелуін түбірлік деректер деп аталатын комбинаторлық деректер арқылы сипаттауға болады.
GLn және SLn
Редуктивті топтың негізгі мысалы – табиғи сан n үшін, k өрісіндегі n × n инверттенді матрицалардың жалпы сызықтық тобы. Атап айтқанда, Gm көбейтуші тобы GL(1) тобымен тең, сондықтан оның k рационалдық нүктелер тобы Gm(k), k өрісінің нөлдік емес элементтерінен тұратын k* тобы болып табылады, олар көбейту бойынша топ құрайды. Тағы бір редуктивті топ – k өрісіндегі SL(n) арнайы сызықтық тобы, детерминанты 1-ге тең матрицалардың кіші тобы. Шындығында, SL(n) – n ≥ 2 болған жағдайда қарапайым алгебралық топ.
О, С, СО және Сп
Маңызды қарапайым топ – k өрісіндегі Sp(2n) симплектикалық тобы, ол k<sup>2n</sup> векторлық кеңістігінде дегенерацияланбаған, антисимметриялық билинейрлік форманы сақтайтын GL(2n) тобының кіші тобы. Сол сияқты, O(q) ортогоналдық тобы – жалпы сызықтық топтың k өрісіндегі векторлық кеңістікте q дегенерацияланбаған квадраттық форманы сақтайтын кіші тобы. Алгебралық топ O(q) екі байланысқан компонентке ие, ал оның бірлік компоненті SO(q) редуктивті, тіпті q-ның өлшемі кем дегенде 3 болғанда қарапайым. (k-ның сипаттамасы 2-ге тең және n тақ болғанда, O(q) топтық схемасы шындығында байланысқан, бірақ k бойынша тегіс емес. SO(q) қарапайым тобын әрқашан k бойынша O(q)-ның максималды тегіс байланысқан кіші тобы ретінде анықтауға болады.) k алгебралық жабық болғанда, бірдей өлшемдегі кез келген екі (дегенерацияланбаған) квадраттық форма изоморфты болады, сондықтан бұл топты SO(n) деп атау орынды. Жалпы k өрісі үшін n өлшемді әртүрлі квадраттық формалар k бойынша SO(q) изоморфты емес қарапайым топтарды тудыруы мүмкін, бірақ олардың бәрі алгебралық жабылуға бірдей негіздік өзгертуге ие.
Тори
Топ және оның өнімдері алгебралық торлар деп аталады. Олар редуктивті топтардың мысалдары, себебі олар диагональ арқылы енгізіледі, және осы бейнелеу арқылы олардың унипотентті радикалы тривиальды болады. Мысалы, келесі бейнелеуден енгізіледі.
Үлгі емес
Кез келген унипотентті топ редуктивті емес, өйткені оның унипотентті радикалы – өзінің тобы. Бұған қосымша топ та кіреді. -нің Борель тобында диагоналінде бірліктер тұратын жоғарғы үшбұрышты матрицалардың тривиальды емес унипотентті радикалы бар. Бұл редуктивті емес, бірақ унипотентті емес топтың мысалы.
Қатысқан редуктивті топ
Бірдей импотентті радикалдың қалыптылығы, бөлімдік топтың редуктивті екенін көрсетеді. Мысалы:
Редуктивті топтарды сипаттаудың басқа түрлері
Әрбір тығыз байланысқан Лай тобының күрделілендірілісі бар, ол күрделі редуктивті алгебралық топ. Шындығында, бұл құрылым компактты байланысқан Лай топтары мен күрделі редуктивті топтар арасында изоморфизмге дейін бір-бірге сәйкестік береді. Күрделілендірілісі G болатын компактты Лай тобы K үшін, K-ден G(C) күрделі редуктивті тобына енгізілу, G(C) бойынша классикалық топологияға қатысты гомотопиялық эквиваленттілік болып табылады. Мысалы, U(n)-дан GL(n,C)-ге енгізілу гомотопиялық эквиваленттілік болып табылады. Нөлдік сипаттамасы бар өріс бойынша G редуктивті тобы үшін, G-нің барлық шекті өлшемді өкілдіктері (алгебралық топ ретінде) толығымен редукцияланады, яғни олар редукцияланбайтын өкілдіктердің тікелей қосындысы болып табылады. «Редуктивті» деген атау осыдан шыққан. Дегенмен, оң сипаттамадағы редуктивті топтар үшін толық редукцияланушылық орындалмайтынын ескеріңіз (торилерден басқа). Егжей-тегжейлірек айтқанда: k өрісі бойынша шекті типтегі G аффиндік топ схемасы, егер оның шекті өлшемді өкілдіктері толығымен редукцияланса, сызықтық редуктивті деп аталады. Егер k-нің сипаттамасы нөл болса, G сызықтық редуктивті болады, егер және тек ғана G-нің Go сәйкестік компоненті редуктивті болса. Алайда, p > 0 сипаттамасы үшін Масаёси Нагата G сызықтық редуктивті екенін көрсетті, егер және тек ғана Go көбейтуші типте болса және G/Go-ның реті p-ге жақын болса.
Тамырлар
Редуктивті алгебралық топтарды жіктеу, күрделі жартылай қарапайым Ли алгебралары немесе ықшам Ли топтары теориясындағыдай, байланысты тамыр жүйесі бойынша жүргізіледі. Міне, редуктивті топтар үшін тамырлар қалай пайда болады. G – k өрісіндегі бөлінген редуктивті топ болсын, ал T – G-дегі бөлінген максималды торус болсын; демек, T, (Gm)n-ге кейбір n үшін изоморфты, ал n – G-нің дәрежесі деп аталады. T-нің кез келген бейнелеуі (алгебралық топ ретінде) 1 өлшемді бейнелеулердің тікелей қосындысы болып табылады. G үшін салмақ – T-нің 1 өлшемді бейнелеулерінің изоморфизм класын немесе T → Gm гомоморфизмін білдіреді. Салмақтар X(T) тобын құрайды, бейнелеулердің тензорлық көбейтіндісі бойынша, X(T) – бүтін сандардың n көшірмесінің көбейтіндісіне, Zn-ге изоморфты. G-нің жапсарлас бейнесі – G-нің Ли алгебрасына конъюгация арқылы әрекет етуі. G-нің тамыры – T ⊂ G-нің әрекетінде пайда болатын нөлдік емес салмақ. Әр тамырға сәйкес келетін кеңістік 1 өлшемді, ал T-мен бекітілген кеңістік – дәл T-нің Ли алгебрасы. Сондықтан G-нің Ли алгебрасы түбірлердің Φ жиынымен индекстелген 1 өлшемді кеңістіктерге ыдырайды:
For example, when G is the group GL(n), its Lie algebra is the vector space of all n × n matrices over k. Let T be the subgroup of diagonal matrices in G. Then the root space decomposition expresses as the direct sum of the diagonal matrices and the 1 dimensional subspaces indexed by the off diagonal positions (i, j). Writing L1, ,Ln for the standard basis for the weight lattice X(T) ≅ Zn, the roots are the elements Li − Lj for all i ≠ j from 1 to n.
The roots of a semisimple group form a root system; this is a combinatorial structure which can be completely classified. More generally, the roots of a reductive group form a root datum, a slight variation. The Weyl group of a reductive group G means the quotient group of the normalizer of a maximal torus by the torus, W = NG(T)/T. The Weyl group is in fact a finite group generated by reflections. For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn. There are finitely many Borel subgroups containing a given maximal torus, and they are permuted simply transitively by the Weyl group (acting by conjugation). A choice of Borel subgroup determines a set of positive roots Φ+ ⊂ Φ, with the property that Φ is the disjoint union of Φ+ and −Φ+. Explicitly, the Lie algebra of B is the direct sum of the Lie algebra of T and the positive root spaces:
For example, if B is the Borel subgroup of upper triangular matrices in GL(n), then this is the obvious decomposition of the subspace of upper triangular matrices in The positive roots are Li − Lj for 1 ≤ i < j ≤ n.
A simple root means a positive root that is not a sum of two other positive roots. Write Δ for the set of simple roots. The number r of simple roots is equal to the rank of the commutator subgroup of G, called the semisimple rank of G (which is simply the rank of G if G is semisimple). For example, the simple roots for GL(n) (or SL(n)) are Li − Li+1 for 1 ≤ i ≤ n − 1. Root systems are classified by the corresponding Dynkin diagram, which is a finite graph (with some edges directed or multiple). The set of vertices of the Dynkin diagram is the set of simple roots. In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group invariant inner product on the weight lattice. The connected Dynkin diagrams (corresponding to simple groups) are pictured below. For a split reductive group G over a field k, an important point is that a root α determines not just a 1 dimensional subspace of the Lie algebra of G, but also a copy of the additive group Ga in G with the given Lie algebra, called a root subgroup Uα. The root subgroup is the unique copy of the additive group in G which is normalized by T and which has the given Lie algebra. Explicitly, the parabolic subgroup corresponding to a given subset S of Δ is the group generated by B together with the root subgroups U−α for α in S. For example, the parabolic subgroups of GL(n) that contain the Borel subgroup B above are the groups of invertible matrices with zero entries below a given set of squares along the diagonal, such as:
By definition, a parabolic subgroup P of a reductive group G over a field k is a smooth k subgroup such that the quotient variety G/P is proper over k, or equivalently projective over k. Thus the classification of parabolic subgroups amounts to a classification of the projective homogeneous varieties for G (with smooth stabilizer group; that is no restriction for k of characteristic zero). For GL(n), these are the flag varieties, parametrizing sequences of linear subspaces of given dimensions a1, ,ai contained in a fixed vector space V of dimension n:
For the orthogonal group or the symplectic group, the projective homogeneous varieties have a similar description as varieties of isotropic flags with respect to a given quadratic form or symplectic form. For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G.
Мысалы, егер G – GL(n) тобы болса, онда оның Ли алгебрасы – k өрісіндегі барлық n × n матрицалардың векторлық кеңістігі. T – G-дегі диагональдық матрицалардың кіші тобы болсын. Содан кейін тамыр кеңістігінің ыдырауы диагональдық матрицалардың тікелей қосындысы және (i, j) диагональдық емес жағдайларымен индекстелген 1 өлшемді кеңістіктер ретінде беріледі. L1, ..., Ln салмақ торы X(T) ≅ Zn үшін стандартты негіз ретінде жазылса, түбірлер – 1-ден n-ге дейінгі барлық i ≠ j үшін Li – Lj элементтері. Жартылай қарапайым топтың түбірлері түбір жүйесін құрайды; бұл толық жіктелуге болатын комбинаторлық құрылым. Жалпы алғанда, редуктивті топтың түбірлері түбір деректерін құрайды, бұл сәл өзгертілген нұсқа. Редуктивті топ G-нің Вейль тобы – максималды торустың нормализаторының торусқа қатысты үлестік тобы, W = NG(T)/T. Вейль тобы – шын мәнінде бейнелеулер арқылы туындаған шекті топ. Мысалы, GL(n) (немесе SL(n)) тобы үшін Вейль тобы – Sn симметриялық тобы. Берілген максималды торусты қамтитын шекті көп Борел кіші топтары бар, және олар Вейль тобымен (конъюгация арқылы әрекет ету) жай ғана транзитивті түрде алмастырылады. Борел кіші тобының таңдауы Φ+ ⊂ Φ оң түбірлер жиынын анықтайды, мұнда Φ – Φ+ және −Φ+ ажыратылған одағы. Ашық түрде, B-нің Ли алгебрасы – T-нің Ли алгебрасының тікелей қосындысы және оң түбір кеңістіктері:
For example, when G is the group GL(n), its Lie algebra is the vector space of all n × n matrices over k. Let T be the subgroup of diagonal matrices in G. Then the root space decomposition expresses as the direct sum of the diagonal matrices and the 1 dimensional subspaces indexed by the off diagonal positions (i, j). Writing L1, ,Ln for the standard basis for the weight lattice X(T) ≅ Zn, the roots are the elements Li − Lj for all i ≠ j from 1 to n.
The roots of a semisimple group form a root system; this is a combinatorial structure which can be completely classified. More generally, the roots of a reductive group form a root datum, a slight variation. The Weyl group of a reductive group G means the quotient group of the normalizer of a maximal torus by the torus, W = NG(T)/T. The Weyl group is in fact a finite group generated by reflections. For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn. There are finitely many Borel subgroups containing a given maximal torus, and they are permuted simply transitively by the Weyl group (acting by conjugation). A choice of Borel subgroup determines a set of positive roots Φ+ ⊂ Φ, with the property that Φ is the disjoint union of Φ+ and −Φ+. Explicitly, the Lie algebra of B is the direct sum of the Lie algebra of T and the positive root spaces:
For example, if B is the Borel subgroup of upper triangular matrices in GL(n), then this is the obvious decomposition of the subspace of upper triangular matrices in The positive roots are Li − Lj for 1 ≤ i < j ≤ n.
A simple root means a positive root that is not a sum of two other positive roots. Write Δ for the set of simple roots. The number r of simple roots is equal to the rank of the commutator subgroup of G, called the semisimple rank of G (which is simply the rank of G if G is semisimple). For example, the simple roots for GL(n) (or SL(n)) are Li − Li+1 for 1 ≤ i ≤ n − 1. Root systems are classified by the corresponding Dynkin diagram, which is a finite graph (with some edges directed or multiple). The set of vertices of the Dynkin diagram is the set of simple roots. In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group invariant inner product on the weight lattice. The connected Dynkin diagrams (corresponding to simple groups) are pictured below. For a split reductive group G over a field k, an important point is that a root α determines not just a 1 dimensional subspace of the Lie algebra of G, but also a copy of the additive group Ga in G with the given Lie algebra, called a root subgroup Uα. The root subgroup is the unique copy of the additive group in G which is normalized by T and which has the given Lie algebra. Explicitly, the parabolic subgroup corresponding to a given subset S of Δ is the group generated by B together with the root subgroups U−α for α in S. For example, the parabolic subgroups of GL(n) that contain the Borel subgroup B above are the groups of invertible matrices with zero entries below a given set of squares along the diagonal, such as:
By definition, a parabolic subgroup P of a reductive group G over a field k is a smooth k subgroup such that the quotient variety G/P is proper over k, or equivalently projective over k. Thus the classification of parabolic subgroups amounts to a classification of the projective homogeneous varieties for G (with smooth stabilizer group; that is no restriction for k of characteristic zero). For GL(n), these are the flag varieties, parametrizing sequences of linear subspaces of given dimensions a1, ,ai contained in a fixed vector space V of dimension n:
For the orthogonal group or the symplectic group, the projective homogeneous varieties have a similar description as varieties of isotropic flags with respect to a given quadratic form or symplectic form. For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G.
Мысалы, егер B – GL(n)-дегі жоғарғы үшбұрышты матрицалардың Борел кіші тобы болса, онда бұл жоғарғы үшбұрышты матрицалар кеңістігінің айқын ыдырауы. Оң түбірлер – 1 ≤ i < j ≤ n үшін Li – Lj. Қарапайым түбір – басқа екі оң түбірдің қосындысы емес оң түбір. Δ – қарапайым түбірлер жиыны. Қарапайым түбірлердің саны r – G-нің коммутаторлық кіші тобының дәрежесіне тең, ол G-нің жартылай қарапайым дәрежесі деп аталады (егер G жартылай қарапайым болса, бұл жай ғана G-нің дәрежесі). Мысалы, GL(n) (немесе SL(n)) үшін қарапайым түбірлер – 1 ≤ i ≤ n − 1 үшін Li – Li+1. Түбір жүйелері сәйкес Динкин диаграммасы бойынша жіктеледі, ол шекті граф (кейбір қабырғалары бағытталған немесе көптеген). Динкин диаграммасының төбелері жиыны – қарапайым түбірлер жиыны. Қысқаша айтқанда, Динкин диаграммасы қарапайым түбірлер арасындағы бұрыштарды және олардың салыстырмалы ұзындықтарын, салмақ торындағы Вейль тобының инвариантты ішкі өніміне қатысты сипаттайды. Төмендегі суретте қарапайым топтарға сәйкес келетін Динкин диаграммалары көрсетілген. G – k өрісіндегі бөлінген редуктивті топ болса, маңызды нүкте – түбір α G-нің Ли алгебрасының 1 өлшемді кеңістігін ғана емес, сонымен қатар берілген Ли алгебрасы бар G-дегі Ga аддитивті тобының көшірмесін анықтайды, ол тамырдың Uα кіші тобы деп аталады. Тамыр кіші тобы – T-мен нормаланған және берілген Ли алгебрасы бар G-дегі аддитивті топтың бірегей көшірмесі. Атап айтқанда, Δ-ның S жиынына сәйкес келетін параболалық кіші топ – B және S-дегі α үшін U−α тамыр кіші топтары арқылы туындаған топ. Мысалы, GL(n) параболалық кіші топтары, жоғарыдағы Борел кіші тобы B бар, диагональ бойымен берілген квадраттар жиынтығының астында нөлге тең жазбалары бар инвертируемый матрицалар топтары болып табылады, мысалы:
For example, when G is the group GL(n), its Lie algebra is the vector space of all n × n matrices over k. Let T be the subgroup of diagonal matrices in G. Then the root space decomposition expresses as the direct sum of the diagonal matrices and the 1 dimensional subspaces indexed by the off diagonal positions (i, j). Writing L1, ,Ln for the standard basis for the weight lattice X(T) ≅ Zn, the roots are the elements Li − Lj for all i ≠ j from 1 to n.
The roots of a semisimple group form a root system; this is a combinatorial structure which can be completely classified. More generally, the roots of a reductive group form a root datum, a slight variation. The Weyl group of a reductive group G means the quotient group of the normalizer of a maximal torus by the torus, W = NG(T)/T. The Weyl group is in fact a finite group generated by reflections. For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn. There are finitely many Borel subgroups containing a given maximal torus, and they are permuted simply transitively by the Weyl group (acting by conjugation). A choice of Borel subgroup determines a set of positive roots Φ+ ⊂ Φ, with the property that Φ is the disjoint union of Φ+ and −Φ+. Explicitly, the Lie algebra of B is the direct sum of the Lie algebra of T and the positive root spaces:
For example, if B is the Borel subgroup of upper triangular matrices in GL(n), then this is the obvious decomposition of the subspace of upper triangular matrices in The positive roots are Li − Lj for 1 ≤ i < j ≤ n.
A simple root means a positive root that is not a sum of two other positive roots. Write Δ for the set of simple roots. The number r of simple roots is equal to the rank of the commutator subgroup of G, called the semisimple rank of G (which is simply the rank of G if G is semisimple). For example, the simple roots for GL(n) (or SL(n)) are Li − Li+1 for 1 ≤ i ≤ n − 1. Root systems are classified by the corresponding Dynkin diagram, which is a finite graph (with some edges directed or multiple). The set of vertices of the Dynkin diagram is the set of simple roots. In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group invariant inner product on the weight lattice. The connected Dynkin diagrams (corresponding to simple groups) are pictured below. For a split reductive group G over a field k, an important point is that a root α determines not just a 1 dimensional subspace of the Lie algebra of G, but also a copy of the additive group Ga in G with the given Lie algebra, called a root subgroup Uα. The root subgroup is the unique copy of the additive group in G which is normalized by T and which has the given Lie algebra. Explicitly, the parabolic subgroup corresponding to a given subset S of Δ is the group generated by B together with the root subgroups U−α for α in S. For example, the parabolic subgroups of GL(n) that contain the Borel subgroup B above are the groups of invertible matrices with zero entries below a given set of squares along the diagonal, such as:
By definition, a parabolic subgroup P of a reductive group G over a field k is a smooth k subgroup such that the quotient variety G/P is proper over k, or equivalently projective over k. Thus the classification of parabolic subgroups amounts to a classification of the projective homogeneous varieties for G (with smooth stabilizer group; that is no restriction for k of characteristic zero). For GL(n), these are the flag varieties, parametrizing sequences of linear subspaces of given dimensions a1, ,ai contained in a fixed vector space V of dimension n:
For the orthogonal group or the symplectic group, the projective homogeneous varieties have a similar description as varieties of isotropic flags with respect to a given quadratic form or symplectic form. For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G.
Анықтама бойынша, k өрісіндегі G редуктивті тобының P параболалық кіші тобы – k-тың тегіс k-кіші тобы, сондықтан G/P коэффициенттік түрленуі k-ға қатысты дұрыс, немесе эквивалентті, k-ға қатысты проективті. Осылайша, параболалық кіші топтарды жіктеу G үшін проективті гомогенді түрленулерді жіктеуге тең (тегіс тұрақтандыру тобымен; яғни, нөлдік сипаттамасы үшін k шектеуі жоқ). GL(n) үшін бұл флаг түрленулері, берілген өлшемдері a1, ..., ai бар сызықтық кеңістіктер тізбегін параметризациялайды, олар n өлшемді V кеңістігіне кіріктірілген:
For example, when G is the group GL(n), its Lie algebra is the vector space of all n × n matrices over k. Let T be the subgroup of diagonal matrices in G. Then the root space decomposition expresses as the direct sum of the diagonal matrices and the 1 dimensional subspaces indexed by the off diagonal positions (i, j). Writing L1, ,Ln for the standard basis for the weight lattice X(T) ≅ Zn, the roots are the elements Li − Lj for all i ≠ j from 1 to n.
The roots of a semisimple group form a root system; this is a combinatorial structure which can be completely classified. More generally, the roots of a reductive group form a root datum, a slight variation. The Weyl group of a reductive group G means the quotient group of the normalizer of a maximal torus by the torus, W = NG(T)/T. The Weyl group is in fact a finite group generated by reflections. For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn. There are finitely many Borel subgroups containing a given maximal torus, and they are permuted simply transitively by the Weyl group (acting by conjugation). A choice of Borel subgroup determines a set of positive roots Φ+ ⊂ Φ, with the property that Φ is the disjoint union of Φ+ and −Φ+. Explicitly, the Lie algebra of B is the direct sum of the Lie algebra of T and the positive root spaces:
For example, if B is the Borel subgroup of upper triangular matrices in GL(n), then this is the obvious decomposition of the subspace of upper triangular matrices in The positive roots are Li − Lj for 1 ≤ i < j ≤ n.
A simple root means a positive root that is not a sum of two other positive roots. Write Δ for the set of simple roots. The number r of simple roots is equal to the rank of the commutator subgroup of G, called the semisimple rank of G (which is simply the rank of G if G is semisimple). For example, the simple roots for GL(n) (or SL(n)) are Li − Li+1 for 1 ≤ i ≤ n − 1. Root systems are classified by the corresponding Dynkin diagram, which is a finite graph (with some edges directed or multiple). The set of vertices of the Dynkin diagram is the set of simple roots. In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group invariant inner product on the weight lattice. The connected Dynkin diagrams (corresponding to simple groups) are pictured below. For a split reductive group G over a field k, an important point is that a root α determines not just a 1 dimensional subspace of the Lie algebra of G, but also a copy of the additive group Ga in G with the given Lie algebra, called a root subgroup Uα. The root subgroup is the unique copy of the additive group in G which is normalized by T and which has the given Lie algebra. Explicitly, the parabolic subgroup corresponding to a given subset S of Δ is the group generated by B together with the root subgroups U−α for α in S. For example, the parabolic subgroups of GL(n) that contain the Borel subgroup B above are the groups of invertible matrices with zero entries below a given set of squares along the diagonal, such as:
By definition, a parabolic subgroup P of a reductive group G over a field k is a smooth k subgroup such that the quotient variety G/P is proper over k, or equivalently projective over k. Thus the classification of parabolic subgroups amounts to a classification of the projective homogeneous varieties for G (with smooth stabilizer group; that is no restriction for k of characteristic zero). For GL(n), these are the flag varieties, parametrizing sequences of linear subspaces of given dimensions a1, ,ai contained in a fixed vector space V of dimension n:
For the orthogonal group or the symplectic group, the projective homogeneous varieties have a similar description as varieties of isotropic flags with respect to a given quadratic form or symplectic form. For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G.
Ортогоналды топ немесе симплектикалық топ үшін проективті гомогенді түрленулер берілген квадраттық форма немесе симплектикалық формаға қатысты изотропты флагтардың түрленулері ретінде ұқсас сипаттамаға ие. Кез келген редуктивті топ G үшін Борел кіші тобы B болса, G/B – G-нің флаг түрленуі немесе флаг манифольді деп аталады.
For example, when G is the group GL(n), its Lie algebra is the vector space of all n × n matrices over k. Let T be the subgroup of diagonal matrices in G. Then the root space decomposition expresses as the direct sum of the diagonal matrices and the 1 dimensional subspaces indexed by the off diagonal positions (i, j). Writing L1, ,Ln for the standard basis for the weight lattice X(T) ≅ Zn, the roots are the elements Li − Lj for all i ≠ j from 1 to n.
The roots of a semisimple group form a root system; this is a combinatorial structure which can be completely classified. More generally, the roots of a reductive group form a root datum, a slight variation. The Weyl group of a reductive group G means the quotient group of the normalizer of a maximal torus by the torus, W = NG(T)/T. The Weyl group is in fact a finite group generated by reflections. For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn. There are finitely many Borel subgroups containing a given maximal torus, and they are permuted simply transitively by the Weyl group (acting by conjugation). A choice of Borel subgroup determines a set of positive roots Φ+ ⊂ Φ, with the property that Φ is the disjoint union of Φ+ and −Φ+. Explicitly, the Lie algebra of B is the direct sum of the Lie algebra of T and the positive root spaces:
For example, if B is the Borel subgroup of upper triangular matrices in GL(n), then this is the obvious decomposition of the subspace of upper triangular matrices in The positive roots are Li − Lj for 1 ≤ i < j ≤ n.
A simple root means a positive root that is not a sum of two other positive roots. Write Δ for the set of simple roots. The number r of simple roots is equal to the rank of the commutator subgroup of G, called the semisimple rank of G (which is simply the rank of G if G is semisimple). For example, the simple roots for GL(n) (or SL(n)) are Li − Li+1 for 1 ≤ i ≤ n − 1. Root systems are classified by the corresponding Dynkin diagram, which is a finite graph (with some edges directed or multiple). The set of vertices of the Dynkin diagram is the set of simple roots. In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group invariant inner product on the weight lattice. The connected Dynkin diagrams (corresponding to simple groups) are pictured below. For a split reductive group G over a field k, an important point is that a root α determines not just a 1 dimensional subspace of the Lie algebra of G, but also a copy of the additive group Ga in G with the given Lie algebra, called a root subgroup Uα. The root subgroup is the unique copy of the additive group in G which is normalized by T and which has the given Lie algebra. Explicitly, the parabolic subgroup corresponding to a given subset S of Δ is the group generated by B together with the root subgroups U−α for α in S. For example, the parabolic subgroups of GL(n) that contain the Borel subgroup B above are the groups of invertible matrices with zero entries below a given set of squares along the diagonal, such as:
By definition, a parabolic subgroup P of a reductive group G over a field k is a smooth k subgroup such that the quotient variety G/P is proper over k, or equivalently projective over k. Thus the classification of parabolic subgroups amounts to a classification of the projective homogeneous varieties for G (with smooth stabilizer group; that is no restriction for k of characteristic zero). For GL(n), these are the flag varieties, parametrizing sequences of linear subspaces of given dimensions a1, ,ai contained in a fixed vector space V of dimension n:
For the orthogonal group or the symplectic group, the projective homogeneous varieties have a similar description as varieties of isotropic flags with respect to a given quadratic form or symplectic form. For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G.
Топтық шектеу схемалары
G → S морфизмі тегіс және аффинді болса, және әрбір геометриялық талшық редуктивті болса, G схемасы S схемасы бойынша редуктивті топтық схема деп аталады. (S-тің p нүктесі үшін, сәйкес геометриялық талшық – p нүктесінің қалдық өрісінің алгебралық жабылуына G-нің негізгі өзгеруі.) Шевальдің жұмысын кеңейте отырып, Мишель Демазур және Гротендик кез келген бос емес схема S үшін бөлінген редуктивті топтық схемалардың тамырлық деректер бойынша жіктелетінін көрсетті. Бұл мәлімдеме Z схемасы бойынша Шевали топтарының топтық схема ретінде бар екенін қамтиды, сондай-ақ S схемасындағы әрбір бөлінген редуктивті топ Z-ден S-қа дейінгі Шевали тобының негізгі өзгеруіне изоморфты екенін көрсетеді.
Нақты редуктивті топтар
Лай топтарының алгебралық топтарға қарағандағы контекстінде, нақты редуктивті топ — R үстіндегі сызықтық алгебралық топ L болатын, мұндағы оның сәйкестік компоненті (Зариски топологиясында) редуктивті, және G → L(R) гомоморфизмінің ядросы шекті, ал бейнесі L(R) (классикалық топологияда) ашық болады. Сонымен қатар, Ad(G) қосымша бейнелеуінің бейнесі Int(gC) = Ad(L0(C)) құрамында бар деп қарастыру қалыпты (G байланысқан болса, бұл автоматты түрде орындалады). Атап айтқанда, әрбір байланысқан жартылай қарапайым Лай тобы (яғни оның Лай алгебрасы жартылай қарапайым) редуктивті болып табылады. Сондай-ақ, R Лай тобы осы мағынада редуктивті, себебі оны GL(1,R) ≅ R* сәйкестік компоненті ретінде қарастыруға болады. Нақты редуктивті топтарды жіктеу мәселесі көбінесе қарапайым Лай топтарын жіктеуге келтіріледі. Бұлар Сатак диаграммасы бойынша жіктеледі, немесе қарапайым Лай топтарының тізіміне (шекті жабуларға дейін) сілтеме жасауға болады. Осы жалпылықтағы нақты редуктивті топтар үшін қабылдауға болатын және біртұтас бейнелеулердің пайдалы теориялары жасалған. Бұл анықтама мен редуктивті алгебралық топтың анықтамасы арасындағы басты айырмашылық — алгебралық топ ретінде G, R үстінде байланысқан болуы мүмкін, ал Lie тобы G(R) байланысқан болмауы мүмкін, және осыған ұқсас жағдай жай ғана байланысқан топтар үшін де орынды. Мысалы, проективті сызықтық топ PGL(2) кез келген өріс үстінде алгебралық топ ретінде байланысқан, бірақ оның нақты нүктелер тобы PGL(2,R) екі байланысқан компонентке ие. PGL(2,R) (кейде PSL(2,R) деп аталады) сәйкестік компоненті — алгебралық топ ретінде қарастырылмаған нақты редуктивті топ. Сол сияқты, SL(2) кез келген өріс үстінде алгебралық топ ретінде жай ғана байланысқан, бірақ Lie тобы SL(2,R) негізгі тобы бүтін сандарға Z-ге изоморфты, сондықтан SL(2,R) тривиальды емес жабу кеңістіктеріне ие. Анықтама бойынша, SL(2,R) тобының барлық шекті жабулары (мысалы, метаплектикалық топ) — нақты редуктивті топтар болып табылады. Алайда, SL(2,R) тобының әмбебап жабуы нақты редуктивті топ емес, оның Lie алгебрасы редуктивті болса да, яғни жартылай қарапайым Lie алгебрасы мен абельдік Lie алгебрасының көбейтіндісі. Байланысқан нақты редуктивті топ G үшін, G/K кесіндісі, G тобының максималды компактты K кіші тобы бойынша, тығыз емес типтегі симметриялық кеңістік болып табылады. Шындығында, тығыз емес барлық симметриялық кеңістік осылай пайда болады. Бұлар Риман геометриясындағы оң емес қималық қисықтығы бар кеңістіктердің маңызды мысалдары. Мысалы, SL(2,R)/SO(2) — гиперболалық жазықтық, ал SL(2,C)/SU(2) — гиперболалық 3-өлшемді кеңістік. Дискретті бағалауға қатысты толық болған k өрісіндегі G редуктивті тобы үшін, G-нің аффиндік құрылымы X симметриялық кеңістіктің орнына келеді. Атап айтқанда, X — G(k) әрекеті бар симплициалды кешен, және G(k) X-те CAT(0) метрикасын сақтайды, бұл оң емес қисықтығы бар метриканың аналогы. Аффиндік құрылымның өлшемдері — G тобының k-рангы. Мысалы, SL(2,Qp) құрылымы — ағаш.
Редуктивті топтардың бейнелері
G-дің k өрістегі бөлінген редуктивті тобы үшін G-дің (алгебралық топ ретінде) өшірілмейтін бейнелері басым салмақтармен параметрленеді, олар салмақ торының X(T) ≅ Zn қиылысы ретінде анықталады, Rn-дегі дөңгелек конуспен (Вейл камерасы). Атап айтқанда, бұл параметрлендіру k-нің сипаттамасына тәуелсіз. Ерекшелеп айтқанда, бөлінген максималды торды және Борелдің кіші тобын T ⊂ B ⊂ G деп бекітіңіз. Содан кейін B – T-нің жартылай тура көбейтіндісі, тегіс байланысқан унипотентті кіші топ U-мен. k өрісіндегі G-нің V бейнелеуіндегі ең жоғары салмақты векторды нөлден өзгеше вектор v ретінде анықтаңыз, онда B, v арқылы өтетін түзуді өзіне бейнелейді. Содан кейін B, сол түзуге өзінің T топтағы бөлігі арқылы, салмақ торының λ мүшесі X(T) арқылы әсер етеді. Шеваллье, G-нің әрбір өшірілмейтін бейнелеуі скалярлық көбейтуге дейін бірегей ең жоғары салмақты векторға ие екенін көрсетті; сәйкес "ең жоғары салмақ" λ басым; және әрбір басым салмақ λ, изоморфизмге дейін G-нің L(λ) өшірілмейтін бейнелеуінің бірегей ең жоғары салмағы болып табылады. Берілген ең жоғары салмақты өшірілмейтін бейнелеуді сипаттау мәселесі әлі де бар. k-ның сипаттамасы нөлге тең болса, толық жауаптар бар. λ басым салмақ болса, Шур модулін ∇(λ) λ-ға байланысты G/B туындысындағы G-эквивариантты түзулігінің k векторлық кеңістігі ретінде анықтаңыз; бұл G-нің бейнелеуі. k-ның сипаттамасы нөлге тең болса, Борель–Вейль теоремасы L(λ) өшірілмейтін бейнелеуі Шур модуліне ∇(λ) изоморфты екенін айтады. Сонымен қатар, Вейль таңба формуласы осы бейнелеудің таңбасын (әсіресе, өлшемін) береді. Оң сипаттамалы k өрісіндегі бөлінген редуктивті G тобы үшін жағдай әлдеқайда күрделі, өйткені G-нің бейнелеулері әдетте өшірілмейтіндердің тікелей қосындысы емес. Басым салмақ λ үшін өшірілмейтін бейнелеу L(λ) Шур модулінің ∇(λ) бірегей жай кіші модулі (сокли) болып табылады, бірақ ол Шур модуліне тең болуы міндетті емес. Шур модулінің өлшемі мен таңбасы Джордж Кемпфтің Вейль таңба формуласымен (сипаттама нөлге ұқсас) берілген. L(λ) өшірілмейтін бейнелеулердің өлшемдері мен таңбалары, әдетте белгісіз, бірақ осы бейнелеулерді талдау үшін теорияның үлкен жиынтығы жасалған. Бір маңызды нәтиже – k-ның сипаттамалық p-і G-нің Кокстер санынан әлдеқайда үлкен болса, L(λ) өлшемдері мен таңбалары белгілі, Хеннинг Андерсен, Йенс Янтцен және Вольфганг Зоргель (осы жағдайда Люштигтің болжамын дәлелдеу). Олардың p үлкенге арналған таңба формуласы комбинаторлық тұрғыдан күрделі Каждан–Лүштиг полиномдарына негізделген. Кез келген жай p үшін Саймон Риш пен Джорди Уильямсон p Каждан–Лүштиг полиномдарының шарттарымен редуктивті топтың өшірілмейтін таңбаларын болжады, олар одан да күрделі, бірақ кем дегенде есептеуге болады.
Сызбалар мен арифметикалық топтар
G рационалды сандар Q-ға анықталған сызықтық алгебралық топ болсын. Онда G-ді Z-ге дейінгі аффиндік топтық схемаға кеңейтуге болады, және бұл G(Z) абстрактілік тобын анықтайды. Арифметикалық топ – G(Q) тобының G(Z)-ға қатысты өлшенетін кез келген кіші тобын білдіреді. (G(Q) кіші тобының арифметикалық қасиеті Z құрылымын таңдауға тәуелсіз.) Мысалы, SL(n,Z) – SL(n,Q) арифметикалық кіші тобы болып табылады. Lie тобы G үшін, G-дегі тор – G-дің дискретті Γ кіші тобы, мұнда G/Γ көптігінің көлемі шекті (G инвариантты өлшемге қатысты). Мысалы, егер G/Γ компакт болса, онда дискретті Γ кіші тобы тор болып табылады. Маргулис арифметикалық теоремасы, атап айтқанда, мынаны айтады: нақты дәрежесі кемінде 2 болатын қарапайым Lie тобы G үшін, G-дегі әрбір тор арифметикалық топ болып табылады.