Введение

Понятие в математике

В математике редуктивная группа — это тип линейной алгебраической группы над полем. Одно из определений гласит, что связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем является редуктивной, если у неё есть представление с конечным ядром, являющееся прямой суммой неприводимых представлений. Редуктивные группы включают в себя одни из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL(n) обратимых матриц, специальная ортогональная группа SO(n) и симплектическая группа Sp(2n). Простые алгебраические группы и (в более общем случае) полупростые алгебраические группы являются редуктивными. Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова для любого алгебраически замкнутого поля. В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Динкина, как и в теории компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли. Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать сложнее, но для многих полей, таких как действительные числа R или числовое поле, классификация хорошо изучена. Классификация конечных простых групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникают как группа G(k) k-рациональных точек простой алгебраической группы G над конечным полем k, или как незначительные варианты этой конструкции. Редуктивные группы обладают богатой теорией представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группы G над полем k как алгебраической группы, то есть действия G на k-мерных векторных пространствах. Но также можно изучать комплексные представления группы G(k), когда k — конечное поле, или бесконечномерные унитарные представления реальной редуктивной группы, или автоморфные представления аделической алгебраической группы. Теория структуры редуктивных групп используется во всех этих областях.

Определения

Линейная алгебраическая группа над полем k определяется как гладкая замкнутая подгрупповая схема GL(n) над k, для некоторого положительного целого числа n. Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k — это гладкая аффинная групповая схема над k.

С однопотентным радикалом

Соединенная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется полупростой, если каждая гладкая соединенная разрешимая нормальная подгруппа является тривиальной. В более общем случае, соединенная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если наибольшая гладкая соединенная унипотентная нормальная подгруппа является тривиальной. Эта нормальная подгруппа называется унипотентным радикалом и обозначается (некоторые авторы не требуют, чтобы редуктивные группы были соединенными). Группа над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если изменение базы на алгебраически замкнутое поле является полупростой или редуктивной, где является алгебраическим замыканием k. (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k является совершенным). Любой тор над k, такой как мультипликативная группа Gm, является редуктивным.

С теорией представления

Для полей характеристики ноль, другим эквивалентным определением редуктивной группы является связная группа, допускающая верное полупростое представление, которое остаётся полупростым над своим алгебраическим замыканием (страница 424).

Простые редуцирующие группы

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k-простой), если она полупростая, нетривиальная, и каждая гладкая связная нормальная подгруппа G над k тривиальна или равна G. (Некоторые авторы называют это свойство "почти простой".) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп, в том, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n, большего или равного 2, и любого поля k, группа SL(n) над k проста, и её центром является групповая схема μn из n-х корней из единицы. Центральная изогения редуктивных групп — это сюръективный гомоморфизм с ядром, являющимся конечной центральной подгрупповой схемой. Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем k,

Несколько неудобно, что определение редуктивной группы над полем включает переход к алгебраическому замыканию. Для совершенного поля k этого можно избежать: линейная алгебраическая группа G над k является редуктивной тогда и только тогда, когда каждая гладкая связная унипотентная нормальная k-подгруппа G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу, которая является несколько более общей.

Разделительные группы

Редуктивная группа G над полем k называется расщепляемой, если она содержит расщепляемый максимальный тор T над k (то есть расщепляемый тор в G, изменение базы которого на является максимальным тором в ). Эквивалентно, можно сказать, что T — это расщепляемый тор в G, который является максимальным среди всех торов над k в G. Такие группы полезны, поскольку их классификация может быть описана с помощью комбинаторных данных, называемых данными о корнях.

GLn и SLn

Фундаментальным примером редуцирующей группы является общая линейная группа обратимых n × n матриц над полем k, для натурального числа n. В частности, мультипликативная группа Gm является группой GL(1), и поэтому её группа Gm(k) из k-рациональных точек является группой k* ненулевых элементов k относительно умножения. Другой редуцирующей группой является специальная линейная группа SL(n) над полем k, подгруппа матриц с определителем 1. Фактически, SL(n) является простой алгебраической группой при n, по крайней мере, равном 2.

О, С, С, и Сп

Важной простой группой является симплектическая группа Sp(2n) над полем k, подгруппа GL(2n), сохраняющая невырожденную попеременно-билинейную форму на векторном пространстве k^(2n). Аналогично, ортогональная группа O(q) является подгруппой общей линейной группы, сохраняющей невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k. Алгебраическая группа O(q) имеет два связных компонента, и ее компонент единицы SO(q) является редуктивной, фактически простой для q размерности n не менее 3. (Для k характеристики 2 и n нечетной, схема групп O(q) на самом деле связна, но не гладка над k. Простая группа SO(q) всегда может быть определена как максимальная гладкая связная подгруппа O(q) над k.) Когда k алгебраически замкнуто, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной и той же размерности изоморфны, и поэтому разумно называть эту группу SO(n). Для общего поля k различные квадратичные формы размерности n могут давать неизоморфные простые группы SO(q) над k, хотя все они имеют одно и то же изменение базиса для алгебраического замыкания.

Тори

Группа и ее произведения называются алгебраическими торами. Они являются примерами редуктивных групп, поскольку они вкладываются в через диагональное отображение, и из этого представления их унипотентный радикал тривиален. Например, вкладывается в из отображения

Непримеры

Любая унипотентная группа не является редуктивной, поскольку её унипотентный радикал совпадает с ней самой. Это включает в себя аддитивную группу. Борелевская группа имеет нетривиальный унипотентный радикал, состоящий из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали. Это пример нередуктивной группы, которая не является унипотентной.

Связанная редуктивная группа

Обратите внимание, что нормальность унипотентного радикала влечет за собой редуктивность факторгруппы. Например,

Другие характеристики редуктивных групп

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию, которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с комплексификацией G, включение из K в комплексную редуктивную группу G(C) является гомотопической эквивалентностью относительно классической топологии на G(C). Например, включение из унитарной группы U(n) в GL(n,C) является гомотопической эквивалентностью. Для редуктивной группы G над полем характеристики ноль, все конечномерные представления G (как алгебраической группы) являются полностью приводимыми, то есть они являются прямыми суммами неприводимых представлений. Отсюда и название "редуктивная". Однако следует отметить, что полная приводимость не выполняется для редуктивных групп в положительной характеристике (за исключением торов). Более подробно: аффинная групповая схема G конечного типа над полем k называется линейно редуктивной, если её конечномерные представления являются полностью приводимыми. Для k характеристики ноль, G является линейно редуктивной тогда и только тогда, когда единичная компонента Go группы G является редуктивной. Однако для k характеристики p>0, Масаёси Нагата показал, что G является линейно редуктивной тогда и только тогда, когда Go является мультипликативным типом, а G/Go имеет порядок, взаимно простой с p.

Корни

Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется с точки зрения связанной корневой системы, как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как выглядят корни для редуктивных групп. Пусть G – разделенная редуктивная группа над полем k, и пусть T – разделенный максимальный тор в G; таким образом, T изоморфен (Gm)n для некоторого n, где n называется рангом G. Каждое представление T (как алгебраической группы) является прямой суммой одномерных представлений. Вес для G означает класс изоморфизма одномерных представлений T или, эквивалентно, гомоморфизм T → Gm. Веса образуют группу X(T) относительно тензорного произведения представлений, при этом X(T) изоморфен произведению n копий целых чисел, Zn. Присоединенное представление – это действие G посредством сопряжения на его алгебре Ли. Корень G означает ненулевой вес, который появляется в действии T ⊂ G на. Подпространство, соответствующее каждому корню, является одномерным, а подпространство, фиксированное T, является точно алгеброй Ли T. Поэтому алгебра Ли G раскладывается на вместе с одномерными подпространствами, индексированными множеством Φ корней:

Например, когда G – группа GL(n), ее алгебра Ли – векторное пространство всех n × n матриц над k. Пусть T – подгруппа диагональных матриц в G. Тогда разложение пространства корней выражается как прямая сумма диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных внедиагональными позициями (i, j). Обозначая L1, …, Ln стандартным базисом для весовой решетки X(T) ≅ Zn, корни являются элементами Li − Lj для всех i ≠ j от 1 до n.

Корни полупростой группы образуют корневую систему; это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. В более общем случае корни редуктивной группы образуют корневые данные – небольшое изменение. Группа Вейля редуктивной группы G означает факторгруппу нормализатора максимального тора по тору, W = NG(T)/T. Группа Вейля на самом деле является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL(n) (или SL(n)) группа Вейля является симметрической группой Sn. Существует конечное число подгрупп Бореля, содержащих данный максимальный тор, и они переставляются группой Вейля (действующей посредством сопряжения) просто транзитивно. Выбор подгруппы Бореля определяет множество положительных корней Φ+ ⊂ Φ, с тем свойством, что Φ является непересекающимся объединением Φ+ и −Φ+. Явно, алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли T и положительных корневых пространств:

Например, если B – подгруппа Бореля верхнетреугольных матриц в GL(n), то это очевидное разложение подпространства верхнетреугольных матриц в. Положительные корни – это Li − Lj для 1 ≤ i < j ≤ n.

Простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух других положительных корней. Обозначим Δ множество простых корней. Число r простых корней равно рангу коммутаторной подгруппы G, называемой полупростым рангом G (который является просто рангом G, если G полупроста). Например, простые корни для GL(n) (или SL(n)) – это Li − Li+1 для 1 ≤ i ≤ n − 1. Корневые системы классифицируются соответствующей диаграммой Динкина, которая является конечным графом (с некоторыми ребрами направленными или кратными). Множество вершин диаграммы Динкина – это множество простых корней. Коротко говоря, диаграмма Динкина описывает углы между простыми корнями и их относительные длины относительно инвариантного внутреннего произведения группы Вейля на весовой решетке. Ниже изображены связные диаграммы Динкина (соответствующие простым группам). Для разделенной редуктивной группы G над полем k важно, что корень α определяет не только одномерное подпространство алгебры Ли G, но и копию аддитивной группы Ga в G с данной алгеброй Ли, называемую корневой подгруппой Uα. Корневая подгруппа – это единственная копия аддитивной группы в G, которая нормализуется T и имеет данную алгебру Ли. Явно, параболическая подгруппа, соответствующая данному подмножеству S из Δ, является группой, порожденной B вместе с корневыми подгруппами U−α для α в S. Например, параболические подгруппы GL(n), содержащие вышеуказанную подгруппу Бореля B, являются группами обратимых матриц с нулевыми элементами ниже данного множества квадратов по диагонали, например:

По определению, параболическая подгруппа P редуктивной группы G над полем k является гладкой k-подгруппой, такой что фактор-разновидность G/P является собственным отображением над k, или, эквивалентно, проективной над k. Таким образом, классификация параболических подгрупп сводится к классификации проективных однородных многообразий для G (с гладкой группой стабилизатора; то есть, без ограничений для k характеристики ноль). Для GL(n) это – флаг-многообразия, параметризующие последовательности линейных подпространств заданных размерностей a1, …, ai, содержащихся в фиксированном векторном пространстве V размерности n:

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют аналогичное описание как многообразия изотропных флагов относительно заданной квадратичной формы или симплектической формы. Для любой редуктивной группы G с подгруппой Бореля B, G/B называется флаг-многообразием или флаг-манифольдом G.

Схемы сокращения групп

Групповая схема G над схемой S называется редуктивной, если морфизм G → S гладкий и аффинный, и каждое геометрическое волокно редуктивно. (Для точки p в S соответствующее геометрическое волокно означает изменение основания G к алгебраическому замыканию поля вычетов p). Развивая работы Шевалье, Мишель Демазур и Гротендик показали, что расщеплённые редуктивные групповые схемы над любой непустой схемой S классифицируются корневыми данными. Это утверждение включает в себя существование групп Шевали как групповых схем над Z и утверждает, что каждая расщеплённая редуктивная группа над схемой S изоморфна изменению основания группы Шевали из Z в S.

Реальные редуцирующие группы

В контексте групп Ли, а не алгебраических групп, реальной редуктивной группой является группа Ли G, для которой существует линейная алгебраическая группа L над R, компонента единицы (в топологии Зариски) которой является редуктивной, и гомоморфизм G → L(R) с конечным ядром и открытым образом в L(R) (в классической топологии). Также обычно предполагается, что образ присоединяющего представления Ad(G) содержится в Int(gC) = Ad(L0(C)) (что автоматически выполняется для связной группы G). В частности, каждая связная полупростая группа Ли (то есть группа, чья алгебра Ли полупроста) является редуктивной. Кроме того, группа Ли R является редуктивной в этом смысле, поскольку её можно рассматривать как компоненту единицы GL(1,R) ≅ R*. Задача классификации реальных редуктивных групп во многом сводится к классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их диаграмме Сатаке, или можно просто обратиться к списку простых групп Ли (с точностью до конечных накрытий). Для реальных редуктивных групп в такой общности разработаны полезные теории допустимых и унитарных представлений. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем, что алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G(R) не обязательно связна, и аналогично для простосвязных групп. Например, проективная линейная группа PGL(2) связна как алгебраическая группа над любым полем, но её группа вещественных точек PGL(2,R) имеет два связных компонента. Компонента единицы PGL(2,R) (иногда называемая PSL(2,R)) является реальной редуктивной группой, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. Аналогично, SL(2) простосвязна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL(2,R) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z, и поэтому SL(2,R) имеет нетривиальные накрывающие пространства. По определению, все конечные накрытия SL(2,R) (например, метаплектическая группа) являются реальными редуктивными группами. С другой стороны, универсальное накрытие SL(2,R) не является реальной редуктивной группой, хотя его алгебра Ли редуктивна, то есть является произведением полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли. Для связной реальной редуктивной группы G фактор-многообразие G/K, полученное делением G на максимальную компактную подгруппу K, является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически, каждое симметрическое пространство некомпактного типа возникает таким образом. Это центральные примеры в римановой геометрии многообразий с неположительной сечением кривизны. Например, SL(2,R)/SO(2) — это гиперболическая плоскость, а SL(2,C)/SU(2) — гиперболическое 3-мерное пространство. Для редуктивной группы G над полем k, полным по отношению к дискретной норме (например, p-адические числа Qp), аффинное здание X группы G играет роль симметрического пространства. А именно, X — это симплициальный комплекс с действием G(k), и G(k) сохраняет метрику CAT(0) на X, являющуюся аналогом метрики с неположительной кривизной. Размерность аффинного здания равна k-рангу G. Например, здание SL(2,Qp) — это дерево.

Представления редуктивных групп

Для разделенной редуктивной группы G над полем k, неприводимые представления G (как алгебраической группы) параметризуются доминантными весами, которые определяются как пересечение решетки весов X(T) ≅ Zn с выпуклым конусом (камерой Вейля) в Rn. В частности, эта параметризация не зависит от характеристики k. Более подробно, фиксируем разделенный максимальный тор и подгруппу Бореля, T ⊂ B ⊂ G. Тогда B является полупрямым произведением T с гладкой связной унипотентной подгруппой U. Определим вектор старшего веса в представлении V из G над k как ненулевой вектор v, такой что B отображает прямую, порожденную v, в себя. Тогда B действует на этой прямой через свою факторгруппу T, некоторым элементом λ решетки весов X(T). Шевалле показал, что каждое неприводимое представление G имеет единственный вектор старшего веса с точностью до скаляра; соответствующий "старший вес" λ является доминантным; и каждый доминантный вес λ является старшим весом единственного неприводимого представления L(λ) из G, с точностью до изоморфизма. Остается проблема описания неприводимого представления с заданным старшим весом. Для k характеристики ноль существуют по существу полные ответы. Для доминантного веса λ определим модуль Шура ∇(λ) как k-векторное пространство сечений G-эквивариантного линейного расслоения на флаговом многообразии G/B, связанного с λ; это представление G. Для k характеристики ноль, теорема Бореля — Вейля утверждает, что неприводимое представление L(λ) изоморфно модулю Шура ∇(λ). Кроме того, формула характера Вейля дает характер (и, в частности, размерность) этого представления. Для разделенной редуктивной группы G над полем k положительной характеристики ситуация гораздо более тонкая, потому что представления G обычно не являются прямыми суммами неприводимых. Для доминантного веса λ, неприводимое представление L(λ) является единственным простым подмодулем (основанием) модуля Шура ∇(λ), но оно не обязательно равно модулю Шура. Размерность и характер модуля Шура даны формулой характера Вейля (как и в характеристике ноль) Джорджем Кемпфом. Размерности и характеры неприводимых представлений L(λ) в целом неизвестны, хотя для анализа этих представлений разработана обширная теория. Одним из важных результатов является то, что размерность и характер L(λ) известны, когда характеристика p поля k намного больше числа Кокстера G, благодаря Хеннингу Андерсену, Йенсу Янцену и Вольфгангу Зёргелю (доказавшим гипотезу Лустига в этом случае). Их формула для больших p основана на полиномах Каждана — Лустига, которые являются комбинаторно сложными. Для любого простого числа p, Саймон Риш и Джорди Уильямсон предположили, что неприводимые характеры редуктивной группы выражаются через p-полиномы Каждана — Лустига, которые еще более сложны, но по крайней мере вычислимы.

Сетки и арифметические группы

Пусть G — линейная алгебраическая группа над рациональными числами Q. Тогда G можно расширить до аффинной групповой схемы G над Z, и это определяет абстрактную группу G(Z). Арифметической группой называется любая подгруппа G(Q), соизмеримая с G(Z). (Арифметичность подгруппы G(Q) не зависит от выбора Z-структуры.) Например, SL(n,Z) является арифметической подгруппой SL(n,Q). Для группы Ли G решеткой в G называется дискретная подгруппа Γ группы G такая, что многообразие G/Γ имеет конечный объем (относительно G-инвариантной меры). Например, дискретная подгруппа Γ является решеткой, если G/Γ компактно. Теорема об арифметичности Маргулиса утверждает, в частности: для простой группы Ли G действительного ранга не меньше 2, любая решетка в G является арифметической группой.