Кіріспе

Полиномиалдың биіктігі өлшемі
Математикада, күрделі коэффициенттері бар полиномиалдың Малер өлшемі былай анықталады:

мұнда полиномиал кешенді сандарға мынадай түрде жіктеледі:

Малер өлшемін биіктік функциясының бір түрі деп қарастыруға болады. Дженсен формуласын қолдану арқылы, бұл өлшемнің бірлік шеңбердегі -ның геометриялық ортасына тең екенін дәлелдеуге болады (яғни, ):

Кейіннен, алгебралық санның Малер өлшемі, үстінен оның ең төменгі дәрежелі полиномиалының Малер өлшемі ретінде анықталады. Атап айтқанда, егер Пизо саны немесе Салем саны болса, онда оның Малер өлшемі жай ғана . Малер өлшемі неміс туған австралиялық математик Курт Малердің есімімен аталған.

Бойдтың ұсынысы

Бойд жоғарыда келтірілген теоремадан гөрі көбірек жалпылама мәлімдемелер жасады. Ол классикалық Кронекер теоремасы, барлық түбірлері бірлік дискісінің ішінде жататын бүтін коэффициенттері бар мономиалды көпшелерді сипаттайтынын, бір айнымалының көпшелерін осылай сипаттауға болатынын, ал бұл нәтиже бірнеше айнымалыдағы көпшелерге де қатысты екенін көрсетті. Бұл әрекеттің топологиялық энтропиясы (өлшемдік энтропияға тең), Малер өлшемімен беріледі (немесе шексіз). Нөлдік емес көпше үшін циклдік модуль жағдайында Линд, Шмидт және Уорд дәлелдеген формула бойынша , -тің логарифмдік Малер өлшемі болады. Жалпы жағдайда, әрекеттің энтропиясы модульдің басқарылған байланысты жайқы идеалдарының генераторлары бойынша логарифмдік Малер өлшемдерінің қосындысы ретінде өрнектеледі. Линд бұрын атап өткендей, егер бір компакттық топтың автоморфизмі болса, онда мұндай әрекеттердің энтропиясының мүмкін мәндерінің жиыны Лемер мәселесінің шешіміне байланысты немесе барлық нақты сандар жиыны, немесе санаулы жиын болады. Сондай-ақ Линд шексіз өлшемді тордың шекті оң энтропиясы бар эргодикалық автоморфизмдері немесе Лемер мәселесінің шешіміне байланысты тек шексіз энтропиясы бар автоморфизмдері болатынын көрсетті.