Кіріспе
Бүкіл сандар бірегей алғашқы факторландыруларға ие.
Математикада арифметиканың негізгі теоремасы, сондай-ақ бірегей факторландыру теоремасы және алғашқы факторландыру теоремасы деп аталатын бұл теорема, 1-ден үлкен кез келген бүтін санды алғашқы сандардың көбейтіндісі түрінде бірегей түрде көрсетуге болатынын айтады, факторлардың ретіне қарамастан. Мысалы,
Теорема осы мысал туралы екі нәрсені көрсетеді: біріншіден, 1200-ді алғашқы сандардың көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады, екіншіден, оны қалай жасасаңыз да, көбейтіндіде әрқашан дәл төрт 2, бір 3, екі 5 болады және басқа алғашқы сандар жоқ. Факторлардың алғашқы болуы талап етіледі: құрама сандарды қамтитын факторландырулар бірегей болмауы мүмкін (мысалы, ). Осы теорема 1-нің алғашқы сан ретінде қарастырылмауының басты себептерінің бірі болып табылады: егер 1 алғашқы сан болса, онда алғашқы сандарға жіктеу бірегей болмас еді; мысалы,
(for example, ). This theorem is one of the main reasons why 1 is not considered a prime number: if 1 were prime, then factorization into primes would not be unique; for example,
Теорема бірегей факторландыру домендері деп аталатын басқа алгебралық құрылымдарға да қатысты, оларға негізгі идеалдық домендер, Евклид домендері және өріс үстіндегі полиномдық сақиналар кіреді. Дегенмен, бұл теорема алгебралық бүтін сандар үшін орындалмайды. Бұл бірегей факторландырудың болмауы Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеу қиындығының себептерінің бірі болып табылады. Алгебралық бүтін сандар сақиналарында бірегей факторландыруды дұрыс есептемеу Ферматтың мәлімдемесінен бастап Уайлстың дәлеліне дейінгі 358 жыл ішінде жазылған көптеген жалған дәлелдемелердің қателігіне әкелді.
Арифметикалық функциялар
Көптеген арифметикалық функциялар канондық түрде анықталады. Атап айтқанда, қосымша және көбейтімдік функциялардың мәндері жай сандардың дәрежелеріндегі мәндері арқылы анықталады.
Дәлел
Дәлелдеу Евклид леммасын қолданады (Элементтер VII, 30): Егер жай сан екі бүтін санның көбейтіндісін бөлетін болса, онда ол кем дегенде осы бүтін сандардың біреуін бөлуі керек.
Тіршілік ету
1-ден үлкен әрбір бүтін сан жай сан немесе жай сандардың көбейтіндісі екенін көрсету керек. Біріншіден, 2 – жай сан. Содан кейін, күшті индукция арқылы, бұл 1-ден үлкен және n-ден кіші барлық сандар үшін дұрыс деп есептейік. Егер n жай сан болса, дәлелдеуге қосымша ештеңе қажет жоқ. Әйтпесе, a және b бүтін сандары бар, мұнда 1=n = a b, және 1 < a ≤ b < n. Индукция гипотезасы бойынша, 1=a = p1 p2 ⋅⋅⋅ pj және 1=b = q1 q2 ⋅⋅⋅ qk – жай сандардың көбейтінділері. Онда 1=n = a b = p1 p2 ⋅⋅⋅ pj q1 q2 ⋅⋅⋅ qk – жай сандардың көбейтіндісі болады.
Бірегейлігі
Керісінше, екі әртүрлі жай көбейткіші бар бүтін сан бар деп есептейік. n осындай ең кіші бүтін сан болсын және n = p1 p2 … pj = q1 q2 … qk деп жазылсын, мұнда әр pi және qi жай сан. p1, q1 q2 … qk-ны бөледі, яғни Евклид леммасы бойынша p1 кейбір qi-ді бөледі. Жалпылықты жоғалтпай, p1, q1-ді бөледі деп алайық. p1 және q1 екеуі де жай сандар болғандықтан, p1 = q1 болады. n-нің жай көбейткіштеріне қайта оралып, осы екі көбейткішті қысқартып, p2 … pj = q2 … qk деген қорытындыға келеміз. Енді бізде n-ден кіші бір бүтін санның екі әртүрлі жай көбейткіштері бар, бұл n-нің ең кіші болуына қайшы келеді.
Жалпылау
Теореманың алғашқы жалпылануы Гаустың биквадратикалық өзара қарым-қатынас туралы екінші монографиясында (1832) кездеседі. Бұл мақалада қазір Гаусс бүтін сандарының сақинасы деп аталатын, a және b бүтін сандар болатын a + bi түріндегі барлық кешенді сандар жиыны енгізілді. Ол осы сақинаның төрт бірлігі ±1 және ±i бар екенін, нөлдік емес және бірлік емес сандар екі классқа – жай және құрама сандарға жататындығын, ал құрама сандар (реттілігіне қарамастан) жай сандардың көбейтіндісі ретінде бірегей түрде жіктеледі (реттілігіне және бірліктермен көбейтуге дейін) көрсетті. Сол сияқты, 1844 жылы кубтық өзара қарым-қатынас бойынша жұмыс істеп жатқанда, Эйзенштейн сақинаны енгізді, мұнда бірліктің куб түбірі. Бұл Эйзенштейн бүтін сандарының сақинасы, және ол оның алты бірлігі бар екенін және бірегей жіктелуге ие екенін дәлелдеді. Алайда, бірегей жіктелу әрқашан орын ала бермейтіні де анықталды. Мысалы, сақинасында бірегей жіктелу орын алмайды. Мұндай мысалдар «жай сан» ұғымын өзгертуге әкелді. сақинасында егер жоғарыдағы факторлардың кез келгені көбейтінді түрінде жазыла алса, мысалы, 2 = ab, онда a немесе b-нің бірі бірлік болуы керек екені дәлелделеді. Бұл «жай сан» анықтамасының дәстүрлі түрі. Сондай-ақ, бұл факторлардың ешқайсысы Евклид леммасын қанағаттандырмайтынын дәлелдеуге болады; мысалы, 2, олардың көбейтіндісі 6-ны бөлсе де, (1 + ) немесе (1 − ) сандарын бөлмейді. Алгебралық сандар теориясында 2, сақинасында тек өзімен немесе бірлікпен ғана бөлінетіндей редукцияланбайтын сан деп аталады, бірақ сақинасында жай сан емес (егер ол көбейтіндіні бөлсе, онда ол факторлардың бірін бөлгенімен). атауын қажет ету себебі, 2, сақинасында жай және редукцияланбайтын сан болып табылады. Осы анықтамаларды пайдаланып, кез келген интегралды доменде жай сан редукцияланбайтын болып табылуы керек екені дәлелделеді. Евклидтің классикалық леммасын «бүтін сандар сақинасындағы әрбір редукцияланбайтын сан жай сан» деп қайта формулиреуге болады. Бұл және сақиналарында да орынды, бірақ сақинасында орын алмайды.
Examples like this caused the notion of "prime" to be modified. In it can be proven that if any of the factors above can be represented as a product, for example, 2 = ab, then one of a or b must be a unit. This is the traditional definition of "prime". It can also be proven that none of these factors obeys Euclid's lemma; for example, 2 divides neither (1 + ) nor (1 − ) even though it divides their product 6. In algebraic number theory 2 is called irreducible in (only divisible by itself or a unit) but not prime in (if it divides a product it must divide one of the factors). The mention of is required because 2 is prime and irreducible in Using these definitions it can be proven that in any integral domain a prime must be irreducible. Euclid's classical lemma can be rephrased as "in the ring of integers every irreducible is prime". This is also true in and but not in
The rings in which factorization into irreducibles is essentially unique are called unique factorization domains. Important examples are polynomial rings over the integers or over a field, Euclidean domains and principal ideal domains. In 1843 Kummer introduced the concept of ideal number, which was developed further by Dedekind (1876) into the modern theory of ideals, special subsets of rings. Multiplication is defined for ideals, and the rings in which they have unique factorization are called Dedekind domains. There is a version of unique factorization for ordinals, though it requires some additional conditions to ensure uniqueness. Any commutative Möbius monoid satisfies a unique factorization theorem and thus possesses arithmetical properties similar to those of the multiplicative semigroup of positive integers. Fundamental Theorem of Arithmetic is, in fact, a special case of the unique factorization theorem in commutative Möbius monoids.
Редукцияланбайтын факторларға жіктелуі негізінен бірегей болатын сақиналар бірегей жіктелу домендері деп аталады. Маңызды мысалдар – бүтін сандар немесе өріс үстіндегі полиномдық сақиналар, Евклид домендері және негізгі идеалдық домендер. 1843 жылы Кумер идеалдық сан ұғымын енгізді, оны Дедекинд (1876) идеалдардың қазіргі теориясына, сақиналардың ерекше ішкі жиындарына дамытты. Идеалдар үшін көбейту анықталған, ал оларда бірегей жіктелуі бар сақиналар Дедекинд домендері деп аталады. Ординалдар үшін де бірегей жіктелудің нұсқасы бар, бірақ бірегейлікті қамтамасыз ету үшін қосымша шарттар қажет. Кез келген коммутативті Мёбиус моноиді бірегей жіктелу теоремасын қанағаттандырады және осылайша оң бүтін сандардың мультипликативті жартылай тобының арифметикалық қасиеттеріне ұқсас қасиеттерге ие болады. Арифметиканың негізгі теоремасы, шындығында, коммутативті Мёбиус моноидтеріндегі бірегей жіктелу теоремасының ерекше жағдайы болып табылады.
Examples like this caused the notion of "prime" to be modified. In it can be proven that if any of the factors above can be represented as a product, for example, 2 = ab, then one of a or b must be a unit. This is the traditional definition of "prime". It can also be proven that none of these factors obeys Euclid's lemma; for example, 2 divides neither (1 + ) nor (1 − ) even though it divides their product 6. In algebraic number theory 2 is called irreducible in (only divisible by itself or a unit) but not prime in (if it divides a product it must divide one of the factors). The mention of is required because 2 is prime and irreducible in Using these definitions it can be proven that in any integral domain a prime must be irreducible. Euclid's classical lemma can be rephrased as "in the ring of integers every irreducible is prime". This is also true in and but not in
The rings in which factorization into irreducibles is essentially unique are called unique factorization domains. Important examples are polynomial rings over the integers or over a field, Euclidean domains and principal ideal domains. In 1843 Kummer introduced the concept of ideal number, which was developed further by Dedekind (1876) into the modern theory of ideals, special subsets of rings. Multiplication is defined for ideals, and the rings in which they have unique factorization are called Dedekind domains. There is a version of unique factorization for ordinals, though it requires some additional conditions to ensure uniqueness. Any commutative Möbius monoid satisfies a unique factorization theorem and thus possesses arithmetical properties similar to those of the multiplicative semigroup of positive integers. Fundamental Theorem of Arithmetic is, in fact, a special case of the unique factorization theorem in commutative Möbius monoids.