Кіріспе

Сандар теориясында, бірегей емес факторлаудың өлшемі

Сандар теориясында, алгебралық сандар өрісінің идеалдық сынып тобы (немесе сынып тобы) – JK / PK бөліктік тобы, мұнда JK – K бүтін сандар сақинасының бөлшектік идеалдар тобы, ал PK – оның негізгі идеалдардың кіші тобы. Сынып тобы – K бүтін сандарының сақинасында бірегей факторлаудың қаншалықты бұзылатындығын көрсететін өлшем. Топтың реті, ол шекті, K-нің сынып саны деп аталады.

Теория Дедекинд домендері мен олардың бөлшектер өрістеріне дейін кеңейеді, онда көбейту қасиеттері сынып тобының құрылымымен тығыз байланысты. Мысалы, Дедекинд доменінің сынып тобы тривиалды болады, егер және тек қана егер сақина бірегей факторлау домені болса.

Идеалдық топтың тарихы мен шығу тегі

Идеалдық топтар (немесе, дәлірек айтқанда, іс жүзінде идеалдық топтар) идеал туралы түсінік қалыптасудан бұрын зерттелді. Бұл топтар квадраттық формалар теориясында пайда болды: Карл Фридрих Гаусс енгізген екілік интегралды квадраттық формалардың жағдайында, формалардың белгілі бір эквиваленттік сыныптарында композиция заңы анықталды. Бұл сол кезде шекті абелдік топ екені анықталды. Кейін Эрнст Кумер циклотомдық өрістер теориясын құруға ұмтылды. Ферманың соңғы теоремасының жалпы жағдайда біртүбірлерді пайдаланып факторлау арқылы дәлелдеуге тырысудың сәтсіздігіне нақты себеп бар екені байқалды (бәлкім, бірнеше адам осыны түсінген): сол біртүбірлер арқылы туындаған сақиналарда бірегей факторлау, яғни арифметиканың негізгі теоремасы орындалмауы үлкен кедергі болды. Кумердің еңбегінен бастап факторлауға кедергі жасайтын факторлар зерттелді. Қазір біз мұны идеалдық сынып тобының бір бөлігі деп танимыз: шындығында, Кумер p түбірінің өрісі үшін, кез келген p жай саны үшін, осы топтағы p-торсияны анықтады, бұл Ферма мәселесіне стандартты шабуыл жасау әдісінің сәтсіздігіне себеп болды (қараңыз, жай сан). Біраз уақыттан кейін Ричард Дедекинд идеал ұғымын формулирледі, ал Кумер басқа тәсілмен жұмыс істеді. Осы кезде қолданыстағы мысалдарды біріктіруге мүмкіндік туды. Алгебралық бүтін сандардың сақиналары әрқашан жай сандарға бірегей түрде жіктеле бермейтіні көрсетілді (өйткені олар міндетті түрде негізгі идеалдық домендер болуы керек емес), бірақ олардың кез келген дұрыс идеалы жай идеалдардың көбейтіндісі ретінде бірегей түрде жіктеледі (яғни алгебралық бүтін сандардың кез келген сақинасы Дедекинд домені болып табылады). Идеалдық сынып тобының мөлшері сақинаның негізгі идеалдық домен болудан қаншалықты алшақтығын көрсетеді; сақина тривиалды идеалдық сынып тобына ие болса ғана негізгі идеалдық домен болып табылады.

Анықтама

Егер R интегралды домен болса, онда R-дың нөлден тыс бөлшек идеалдары бойынша ~ қатынасын былай анықтаймыз: егер R-дың нөлден тыс элементтері a және b болса, онда (a)I = (b)J. (Мұнда (a) белгісі R-дың барлық a-ның еселіктерінен тұратын негізгі идеалды білдіреді.) Бұл қатынастың эквиваленттік екенін оңай көрсетуге болады. Эквиваленттік кластар R-дың идеалдық кластары деп аталады. Идеалдық кластарды көбейтуге болады: егер [I] идеал I-дің эквиваленттік класын білдірсе, онда [I][J] = [IJ] көбейту дұрыс анықталған және коммутативті болады. Негізгі идеалдар осы көбейту үшін сәйкестік элемент ретінде қызмет ететін [R] идеалдық класын құрайды. Осылайша, [I] класының керісі [J] тек қана IJ негізгі идеал болатын J идеалы болған жағдайда ғана болады. Жалпы, мұндай J болмауы мүмкін, сондықтан R-дың идеалдық кластары жиыны тек моноид бола алады. Алайда, егер R алгебралық сан денесіндегі алгебралық бүтін сандар сақинасы болса, немесе жалпы алғанда Дедекинд домені болса, жоғарыда анықталған көбейту бөлшек идеалдық кластар жиынын абелдік топқа, яғни R-дың идеалдық кластар тобына айналдырады. Кері элементтердің болу қасиеті Дедекинд доменіндегі әрбір нөлдік емес идеалдың (R-ден басқа) жай идеалдардың көбейтіндісі болып табылуынан оңай шығады.

Қасиеттері

Идеалдық сынып тобы тривиалды (яғни, тек бір элементі бар) егер және тек R-дің барлық идеалдары негізгі болса. Осы мағынада, идеалдық сынып тобы R-дің негізгі идеалдық домен болудан қаншалықты алшақтауын өлшейді, демек, бірегей алғашқы көбейткіштерге ие болудан (Dedekind домендері бірегей көбейткіштер домендері болып табылады, егер және тек егер олар негізгі идеалдық домендер болса). Идеалдық сыныптардың саны (R саны) жалпы жағдайда шексіз болуы мүмкін. Шындығында, кез келген абельдік топ кейбір Дедекинд доменінің идеалдық сынып тобымен изоморфты. Бірақ егер R алгебралық бүтін сандардың сақинасы болса, онда сынып саны әрқашан шекті болады. Бұл классикалық алгебралық сандар теориясының негізгі нәтижелерінің бірі. Сынып тобын есептеу, жалпы алғанда, қиын; оны Миньковски шегін пайдалана отырып, кішкентай дискриминанты бар алгебралық сандар өрісіндегі бүтін сандар сақинасы үшін қолмен жасауға болады. Бұл нәтиже сақинаға байланысты шектейтін шаманы береді, сондықтан әрбір идеалдық сыныпта шектен кіші идеалдық норма болады. Жалпы, шек үлкен дискриминанттары бар өрістер үшін есептеуді практикалық ету үшін жеткілікті емес, бірақ компьютерлер осы міндетке жақсы бейімделген. Бүтін сандар сақиналары R-ден олардың сәйкес сынып топтарына бейнелеу функционалды, ал сынып тобы алгебралық K-теориясының аясына кіреді, K0(R) R-ге оның идеалдық сынып тобын тағайындайтын функтор болып табылады; дәлірек айтқанда, K0(R) = Z × C(R), мұнда C(R) – сынып тобы. Жоғары K-топтарын да қолдануға және бүтін сандар сақиналарымен байланыста арифметикалық тұрғыдан түсіндіруге болады.

Бірліктер тобымен байланыс

Жоғарыда айтылғандай, идеалдық сынып тобы Дедекинд доменіндегі идеалдардың элементтер сияқты қалай әрекет ететіні туралы сұраққа жауаптың бір бөлігін ұсынады. Жауаптың екінші бөлігін Дедекинд доменінің бірліктер тобы ұсынады, себебі негізгі идеалдардан олардың түбіне өту үшін бірліктерді қолдану қажет (және осы себепті бөлшектік идеал түсінігі енгізілді): R-дің барлық нөлдік емес бөлшектік идеалдары жиынына R-ден бір картаны анықтаңыз, әрбір элементті одан туындайтын негізгі (бөлшектік) идеалға жіберу арқылы. Бұл топтық гомоморфизм болып табылады; оның ядросы R-дің бірліктер тобы, ал кокернелі – R-дің идеалдық сынып тобы. Бұл топтардың тривиалды болмауы картаның изоморфизм болуына кедергі келтіретінінің өлшемі болып табылады: яғни идеалдардың сақина элементтері сияқты әрекет етуіне кедергі, яғни сандар сияқты болуына кедергі.

Идеалдық сынып топтарының мысалдары

Z, Z[ω] және Z[i] сақиналары, мұндағы ω – 1-дің текше түбірі, ал i – 1-дің төртінші түбірі (яғни -1-дің квадрат түбірі), – барлығы негізгі идеалдық домендер (және іс жүзінде барлығы Евклидтік домендер), сондықтан 1-сыныптық санына ие: яғни, олардың идеалдық сыныптар тобы тривиальды. Егер k өріс болса, онда k[X1, X2, X3, ...] полиномдық сақинасы интегралды домен болып табылады. Оның санаулы сансыз идеалдық сыныптары бар.

Квадраттық өрістердің сыныптық нөмірлері

Егер 1-ден басқа квадраттық бос бүтін сан болса (әр түрлі жай сандардың көбейтіндісі), онда ол Q-ның квадраттық кеңейтімі болады. Егер , онда алгебралық бүтін сандардың сақинасының сынып саны дәл келесі мәндерде 1-ге тең: Бұл нәтижені алғаш рет Гаусс болжады және Курт Хегнер дәлелдеді, бірақ 1967 жылы Гарольд Старк кейінірек дәлел келтіргенге дейін Хегнердің дәлеліне сенімсіздік танытты. (Старк–Хегнер теоремасын қараңыз.) Бұл белгілі сыныптық сандар мәселесінің ерекше жағдайы. Егер, керісінше, d > 0 болса, онда 1 сыныпты саны бар шексіз көп өріс бар ма, жоқ па, әлі белгісіз. Есептеулер мұндай өрістердің көп екенін көрсетеді. Дегенмен, 1 сыныпты саны бар сандық өрістердің шексіз көп болуы да белгісіз. d < 0 болғанда, -ның идеалдық сынып тобы -ның дискриминантына тең дискриминантты интегралдық бинарлық квадраттық формалардың сынып тобына изоморфты. d > 0 болғанда, идеалдық сынып тобының мөлшері екі есе кіші болуы мүмкін, себебі интегралдық бинарлық квадраттық формалардың сынып тобы -ның тар сынып тобына изоморфты. Нақты квадраттық бүтін сандар сақиналары үшін сынып саны OEIS A003649-да келтірілген; ал жорамал жағдайы үшін олар OEIS A000924-де берілген.

Сабақ өрісі теориясымен байланысы

Сыныптық өріс теориясы – алгебралық сандар теориясының бір саласы, ол берілген алгебралық сандар өрісінің барлық абельдік кеңейтулерін жіктеуге, яғни абельдік Галуа тобына ие Галуа кеңейтулерін зерттейді. Көрікті мысал – сандық өрістің Гилберт сыныптық өрісі, оны осындай өрістің максималды тармақталмаған абельдік кеңейтуі деп анықтауға болады. K сандық өрісінің L Гилберт сыныптық өрісі бірегей және келесі қасиеттерге ие: K бүтін сандар сақинасының кез келген идеалы L-де негізгі болады, яғни егер I – K-нің интегралдық идеалы болса, онда I-дің бейнесі L-дегі негізгі идеал болып табылады. L – K-нің Галуа кеңейтімі, оның Галуа тобы K-нің идеалдық сынып тобына изоморфты. Бұл қасиеттерді дәлелдеу оңай емес.