Кіріспе
Сандар теориясында, көбейтінді функциясы – бұл оң бүтін сан n үшін f(n) = 1 қасиетіне ие арифметикалық функция, және егер a мен b өзара жай болса, f(ab) = f(a)f(b) теңдігі орындалады. Егер f(1) = 1 және f(ab) = f(a)f(b) барлық оң бүтін сандар a және b үшін орындалса, тіпті олар өзара жай болмаса да, онда f(n) арифметикалық функциясы толық көбейтінді (немесе толығымен көбейтінді) деп аталады.
In number theory, a multiplicative function is an arithmetic function f(n) of a positive integer n with the property that f(1) = 1 and
whenever a and b are coprime. An arithmetic function f(n) is said to be completely multiplicative (or totally multiplicative) if f(1) = 1 and f(ab) = f(a)f(b) holds for all positive integers a and b, even when they are not coprime.
Кейбір көбейту функциялары үшін Дирихле тізбектері
Дирихле қатарлары туралы мақалада тағы да мысалдар көрсетілген.
Рационалды арифметикалық функциялар
Арифметикалық функция f егер g1, …, gr, h1, …, hs толық көбейту функциялары болса, онда ол рационалды арифметикалық функция деп аталады. Реттік рационалды арифметикалық функциялар тотиенттік функциялар деп аталады, ал реттік рационалды арифметикалық функциялар квадраттық функциялар немесе арнайы көбейту функциялары деп аталады. Эйлер функциясы – тотиент функциясы, ал бөлгіш функциясы – квадраттық функция. Толық көбейту функциялары – рационалды арифметикалық функциялар, мұнда Лиувилль функциясы толық көбейту функциясы болып табылады. Мёбиус функциясы – тәртіптің рационалды арифметикалық функциясы. Дирихле конволюциясы бойынша сәйкестік элементі тәртіптің рационалды арифметикалық функциясы болып табылады. Барлық рационалды арифметикалық функциялар көбейтуші болып табылады. f көбейту функциясы егер және тек қана оның Белл қатары барлық жай сандар үшін мына формада болса, онда ол реттік рационалды арифметикалық функция болып табылады. Рационалды арифметикалық функция ұғымы Р. Вайдянатхасвами (1931) еңбектерінен бастау алады.
h1, ,hs such that
where the inverses are with respect to the Dirichlet convolution. Rational arithmetical functions of order are known as totient functions, and rational arithmetical functions of order are known as quadratic functions or specially multiplicative functions. Euler's function is a totient function, and the divisor function is a quadratic function. Completely multiplicative functions are rational arithmetical functions of order Liouville's function is completely multiplicative. The Möbius function is a rational arithmetical function of order By convention, the identity element under the Dirichlet convolution is a rational arithmetical function of order
All rational arithmetical functions are multiplicative. A multiplicative function f is a rational arithmetical function of order if and only if its Bell series is of the form
for all prime numbers
The concept of a rational arithmetical function originates from R. Vaidyanathaswamy (1931).
Көбейту функциясы бөлінген
1=A = Fq[X], q элементі бар шекті өріс үстіндегі полиномдық сақина. A – негізгі идеалдық домен, демек A – бірегей жіктеу домені. A-дағы кешенді мәнді функция, егер f және g өзара жай болса, көбейтуші деп аталады.