Төртбұрышты пирамида: геометриялық сипаттама және көлемі

Кіріспе

Төртбұрышты негізді пирамида

Геометрияда төртбұрышты пирамида – төртбұрышты негізді, жалпы бес жағы бар пирамида. Егер пирамиданың төбесі төртбұрыштың ортасынан тікелей жоғары орналасса, онда ол төрт тең бүйірлі үшбұрышты тік төртбұрышты пирамида болады; әйтпесе, ол көлбеу төртбұрышты пирамида болып табылады. Пирамиданың барлық қабырғалары тең болса, оның үшбұрыштары бәрі де теңқабырлы болады, және ол теңқабырлы төртбұрышты пирамида деп аталады. Төртбұрышты пирамидалар сәулет тарихы бойында кездеседі, мысалы, Мысыр пирамидалары және осыған ұқсас көптеген ғимараттар. Олар химияда да төртбұрышты пирамидалық молекулалық құрылымдарда кездеседі. Төртбұрышты пирамидалар басқа көпжақтарды құру үшін жиі қолданылады. Көне заманда көптеген математиктер әртүрлі тәсілдермен төртбұрышты пирамиданың көлемін есептейтін формула ашты.

Оң жақ төрт бұрышты пирамида

Төртбұрышты пирамида бес төбе, сегіз қабырға және бес жағына ие. Бір жағы пирамиданың табаны деп аталады, ол төртбұрыш, ал қалған төрт жағы үшбұрыштан тұрады. Төрт қабырға төртбұрыштың төрт төбесін қосып, төртбұрыш құрайды. Қалған төрт қабырға пирамиданың бүйірлік қабырғалары деп аталады, олар бесінші төбеде түйіседі. Егер пирамиданың төбесі төртбұрыштың ортасынан тік көтерілген түзу бойында орналасса, онда ол тік төртбұрышты пирамида деп аталады, ал төрт үшбұрышты жағы теңқабырғалы үшбұрыштар болады. Әйтпесе, пирамидада екі немесе одан көп теңқабырғалы емес үшбұрышты жағы болады және ол көлбеу төртбұрышты пирамида деп аталады. Тік төртбұрышты пирамиданың көлбеу биіктігі оның теңқабырғалы үшбұрыштарының биіктігі ретінде анықталады. Оны Пифагор теоремасы арқылы табуға болады: мұнда үшбұрыштың табаны, сонымен қатар төртбұрыштың қабырғасының бірі, және үшбұрыштың тік бұрышты қабырғаларының ұзындығы, олар пирамиданың бүйірлік қабырғалары. Тік төртбұрышты пирамиданың биіктігі де осыған ұқсас жолмен табуға болады, көлбеу биіктік формуласын қолдану арқылы: Көпжақтың бетінің ауданы оның жақтарының аудандарының қосындысына тең. Тік төртбұрышты пирамиданың бетінің ауданы , мұндағы және оның үшбұрыштарының бірі мен оның табанының аудандары тиісінше. Үшбұрыштың ауданы оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең, ал төртбұрыштың ауданы - қабырғасының ұзындығының квадраты. Бұл мынадай өрнек береді: Жалпы, пирамиданың көлемі оның табанының ауданының үштен бір бөлігіне, оның биіктігіне көбейтілгеніне тең. Бұл формуламен төртбұрышты пирамиданың көлемін анықтауға болады. Көптеген математиктер ежелгі заманда төртбұрышты пирамиданың көлемін есептеу формуласын ашқан. Мәскеу математикалық папирусында мысырлық математиктер кесілген төртбұрышты пирамиданың көлемін есептеу формуласын білгенін көрсетті, бұл олар төртбұрышты пирамиданың көлемімен де таныс болғанын көрсетеді, бірақ формула қалай шығарылғаны белгісіз. Төртбұрышты пирамиданың көлемін табудан басқа, оның еңістігі мен биіктігін табу мәселесі Ринд математикалық папирусында кездеседі. Вавилондық математиктер де фрустумның көлемін қарастырған, бірақ оған дұрыс емес формула берген. Қытай математигі Лю Хуэй де тікбұрышты денелерді бөліктерге бөлу арқылы көлемді тапқан.

A square pyramid has five vertices, eight edges, and five faces. One face, called the base of the pyramid, is a square; the four other faces are triangles. Four of the edges make up the square by connecting its four vertices. The other four edges are known as the lateral edges of the pyramid; they meet at the fifth vertex, called the apex. If the pyramid's apex lies on a line erected perpendicularly from the center of the square, it is called a right square pyramid, and the four triangular faces are isosceles triangles. Otherwise, the pyramid has two or more non isosceles triangular faces and is called an oblique square pyramid. The slant height of a right square pyramid is defined as the height of one of its isosceles triangles. It can be obtained via the Pythagorean theorem:

where is the length of the triangle's base, also one of the square's edges, and is the length of the triangle's legs, which are lateral edges of the pyramid. The height of a right square pyramid can be similarly obtained, with a substitution of the slant height formula giving:

A polyhedron's surface area is the sum of the areas of its faces. The surface area of a right square pyramid can be expressed as , where and are the areas of one of its triangles and its base, respectively. The area of a triangle is half of the product of its base and side, with the area of a square being the length of the side squared. This gives the expression:

In general, the volume of a pyramid is equal to one third of the area of its base multiplied by its height. Expressed in a formula for a square pyramid, this is:

Many mathematicians have discovered the formula for calculating the volume of a square pyramid in ancient times. In the Moscow Mathematical Papyrus, Egyptian mathematicians demonstrated knowledge of the formula for calculating the volume of a truncated square pyramid, suggesting that they were also acquainted with the volume of a square pyramid, but it is unknown how the formula was derived. Beyond the discovery of the volume of a square pyramid, the problem of finding the slope and height of a square pyramid can be found in the Rhind Mathematical Papyrus. The Babylonian mathematicians also considered the volume of a frustum, but gave an incorrect formula for it. One Chinese mathematician Liu Hui also discovered the volume by the method of dissecting a rectangular solid into pieces.

Қолданбалар

Архитектурада ежелгі Мысырда салынған пирамидалар төртбұрышты пирамида пішіндес ғимараттардың мысалы болып табылады. Пирамидологтар Гизаның Ұлы пирамидасының дизайны үшін әртүрлі ұсыныстар енгізді, соның ішінде Кеплер үшбұрышы мен алтын қатынасқа негізделген теория. Дегенмен, қазіргі ғалымдар египет математикасы мен пропорциясының біліміне сәйкес келетін бүтін сандық қатынастарды қолданатын сипаттамаларды жақсы көреді. Мезоамерикалық пирамидалар да ежелгі пирамидалық ғимараттар болып табылады, олар мысырлықтарға ұқсас; олардың айырмашылығы – жалпақ жоны мен беттеріне көтерілетін баспалдақтары бар. Мысыр пирамидаларын үлгі еткен қазіргі заманғы ғимараттарға Лувр пирамидасы және Лас-Вегас қаласындағы Люксор казино-қонақ үйі жатады. Стереохимияда атомдар кластері төртбұрышты пирамидалық геометрияға ие болуы мүмкін. Төртбұрышты пирамидалық молекулада бір белсенді жалғыз электрон жұбы бар негізгі топ элементі болады, оны молекулалардың геометриясын болжайтын VSEPR теориясы деп аталатын модельмен сипаттауға болады. Осы құрылымды молекулалардың мысалдары – хлор пентафториді, бром пентафториді және йод пентафториді. Пирамиданың негізін басқа көпжақтардың төртбұрышты бетіне қосып, жаңа көпжақтар құрастыруға болады, бұл – толықтырудың мысалы. Мысалы, тетракис гексаэдрді теңқабырша төртбұрышты пирамиданың негізін текшелердің әр бетіне бекіту арқылы құрастыруға болады. Пирамидаларға призмалар немесе антипризмаларды бекіту тиісінше созу немесе гиросозу деп аталады. Кейбір Джонсон қатты денелерін төртбұрышты пирамидаларды толықтыру арқылы немесе төртбұрышты пирамидалармен басқа пішіндерді толықтыру арқылы құрастыруға болады: созылған төртбұрышты пирамида, айналмалы созылған төртбұрышты пирамида, созылған төртбұрышты бипирамида, айналмалы созылған төртбұрышты бипирамида, толықтырылған үшбұрышты призма, екі рет толықтырылған үшбұрышты призма, үш рет толықтырылған үшбұрышты призма, толықтырылған бесбұрышты призма, екі рет толықтырылған бесбұрышты призма, толықтырылған алтыбұрышты призма, паратолықтырылған алтыбұрышты призма, метатолықтырылған алтыбұрышты призма, үш рет толықтырылған алтыбұрышты призма және толықтырылған сфенокорона.

In architecture, the pyramids built in ancient Egypt are examples of buildings shaped like square pyramids. Pyramidologists have put forward various suggestions for the design of the Great Pyramid of Giza, including a theory based on the Kepler triangle and the golden ratio. However, modern scholars favor descriptions using integer ratios, as being more consistent with the knowledge of Egyptian mathematics and proportion. The Mesoamerican pyramids are also ancient pyramidal buildings similar to the Egyptian; they differ in having flat tops and stairs ascending their faces. Modern buildings whose designs imitate the Egyptian pyramids include the Louvre Pyramid and the casino hotel Luxor Las Vegas. In stereochemistry, an atom cluster can have a square pyramidal geometry. A square pyramidal molecule has a main group element with one active lone pair, which can be described by a model that predicts the geometry of molecules known as VSEPR theory. Examples of molecules with this structure include chlorine pentafluoride, bromine pentafluoride, and iodine pentafluoride. The base of a square pyramid can be attached to a square face of another polyhedron to construct new polyhedra, an example of augmentation. For example, a tetrakis hexahedron can be constructed by attaching the base of an equilateral square pyramid onto each face of a cube. Attaching prisms or antiprisms to pyramids is known as elongation or gyroelongation, respectively. Some of the other Johnson solids can be constructed by either augmenting square pyramids or augmenting other shapes with square pyramids: elongated square pyramid , gyroelongated square pyramid , elongated square bipyramid , gyroelongated square bipyramid , augmented triangular prism , biaugmented triangular prism , triaugmented triangular prism , augmented pentagonal prism , biaugmented pentagonal prism , augmented hexagonal prism , parabiaugmented hexagonal prism , metabiaugmented hexagonal prism , triaugmented hexagonal prism , and augmented sphenocorona .