Квадратная пирамида: геометрия, свойства и вычисления

Введение

Пирамида с квадратным основанием

В геометрии квадратная пирамида — это пирамида с квадратным основанием, имеющая в общей сложности пять граней. Если вершина пирамиды расположена непосредственно над центром квадрата, то это правильная квадратная пирамида с четырьмя равнобедренными треугольниками; в противном случае — наклонная квадратная пирамида. Если все рёбра пирамиды равны по длине, то все её треугольники являются равносторонними, и она называется равногранной квадратной пирамидой. Квадратные пирамиды встречаются в истории архитектуры, примерами служат египетские пирамиды и многие другие подобные сооружения. Они также встречаются в химии в молекулярных структурах квадратной пирамидальной формы. Квадратные пирамиды часто используются при построении других многогранников. Многие математики в древности открыли формулу для вычисления объёма квадратной пирамиды, используя различные подходы.

Правая квадратная пирамида

У квадратной пирамиды пять вершин, восемь ребер и пять граней. Одна грань, называемая основанием пирамиды, является квадратом, а остальные четыре – треугольники. Четыре ребра образуют квадрат, соединяя его четыре вершины. Остальные четыре ребра известны как боковые ребра пирамиды; они сходятся в пятой вершине, называемой вершиной (или апексом). Если вершина пирамиды лежит на прямой, возведенной перпендикулярно от центра квадрата, то она называется прямой квадратной пирамидой, а четыре треугольных грани – равнобедренными треугольниками. В противном случае пирамида имеет две или более неравнобедренных треугольных граней и называется наклонной квадратной пирамидой. Апофема (высота наклона) прямой квадратной пирамиды определяется как высота одного из ее равнобедренных треугольников. Ее можно получить с помощью теоремы Пифагора: где – длина основания треугольника, также являющегося ребром квадрата, а – длина боковых сторон треугольника, которые являются боковыми ребрами пирамиды. Высота прямой квадратной пирамиды может быть получена аналогичным образом, с заменой формулы апофемы, дающей: Площадь поверхности многогранника – это сумма площадей его граней. Площадь поверхности прямой квадратной пирамиды может быть выражена как , где и – площади одного из ее треугольников и ее основания соответственно. Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты, а площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Это дает выражение: В общем случае, объем пирамиды равен одной трети площади ее основания, умноженной на ее высоту. Выраженная в виде формулы для квадратной пирамиды, это: Многие математики открыли формулу для вычисления объема квадратной пирамиды в древности. В Московском математическом папирусе египетские математики продемонстрировали знание формулы для вычисления объема усеченной квадратной пирамиды, что позволяет предположить, что они также были знакомы с объемом квадратной пирамиды, но неизвестно, как была получена эта формула. Помимо открытия объема квадратной пирамиды, в Риндском математическом папирусе можно найти задачу об определении наклона и высоты квадратной пирамиды. Вавилонские математики также рассматривали объем усеченной пирамиды, но дали для него неверную формулу. Китайский математик Лю Хуэй также открыл объем методом разбиения прямоугольного параллелепипеда на части.

A square pyramid has five vertices, eight edges, and five faces. One face, called the base of the pyramid, is a square; the four other faces are triangles. Four of the edges make up the square by connecting its four vertices. The other four edges are known as the lateral edges of the pyramid; they meet at the fifth vertex, called the apex. If the pyramid's apex lies on a line erected perpendicularly from the center of the square, it is called a right square pyramid, and the four triangular faces are isosceles triangles. Otherwise, the pyramid has two or more non isosceles triangular faces and is called an oblique square pyramid. The slant height of a right square pyramid is defined as the height of one of its isosceles triangles. It can be obtained via the Pythagorean theorem:

where is the length of the triangle's base, also one of the square's edges, and is the length of the triangle's legs, which are lateral edges of the pyramid. The height of a right square pyramid can be similarly obtained, with a substitution of the slant height formula giving:

A polyhedron's surface area is the sum of the areas of its faces. The surface area of a right square pyramid can be expressed as , where and are the areas of one of its triangles and its base, respectively. The area of a triangle is half of the product of its base and side, with the area of a square being the length of the side squared. This gives the expression:

In general, the volume of a pyramid is equal to one third of the area of its base multiplied by its height. Expressed in a formula for a square pyramid, this is:

Many mathematicians have discovered the formula for calculating the volume of a square pyramid in ancient times. In the Moscow Mathematical Papyrus, Egyptian mathematicians demonstrated knowledge of the formula for calculating the volume of a truncated square pyramid, suggesting that they were also acquainted with the volume of a square pyramid, but it is unknown how the formula was derived. Beyond the discovery of the volume of a square pyramid, the problem of finding the slope and height of a square pyramid can be found in the Rhind Mathematical Papyrus. The Babylonian mathematicians also considered the volume of a frustum, but gave an incorrect formula for it. One Chinese mathematician Liu Hui also discovered the volume by the method of dissecting a rectangular solid into pieces.

Приложения

В архитектуре пирамиды, построенные в Древнем Египте, являются примерами зданий в форме квадратных пирамид. Пирамидологи выдвинули различные предположения относительно конструкции Великой пирамиды в Гизе, включая теорию, основанную на треугольнике Кеплера и золотом сечении. Однако современные исследователи отдают предпочтение описаниям, использующим целочисленные соотношения, поскольку они лучше соответствуют знаниям египетской математики и пропорций. Мезоамериканские пирамиды также представляют собой древние пирамидальные сооружения, подобные египетским; они отличаются плоскими вершинами и лестницами, ведущими вверх по их граням. К современным зданиям, дизайн которых имитирует египетские пирамиды, относятся пирамида Лувра и казино-отель Luxor Las Vegas. В стереохимии атомный кластер может иметь квадратную пирамидальную геометрию. Квадратная пирамидальная молекула содержит центральный атом с одной неподеленной электронной парой, что можно описать моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR. Примеры молекул с такой структурой включают пентафторид хлора, пентафторид брома и пентафторид йода. Основание квадратной пирамиды можно присоединить к квадратной грани другого многогранника для построения новых многогранников, что является примером аугментации (дополнения). Например, тетракисгексаэдр можно построить, прикрепив основание равносторонней квадратной пирамиды к каждой грани куба. Присоединение призм или антипризм к пирамидам известно как удлинение или гироудлинение соответственно. Некоторые другие тела Джонсона могут быть построены либо путем аугментации квадратных пирамид, либо путем аугментации других форм квадратными пирамидами: удлиненная квадратная пирамида, гироудлиненная квадратная пирамида, удлиненная квадратная бипирамида, гироудлиненная квадратная бипирамида, удлиненная треугольная призма, двукратно аугментированная треугольная призма, тройно аугментированная треугольная призма, удлиненная пятиугольная призма, двукратно аугментированная пятиугольная призма, удлиненная шестиугольная призма, парааугментированная шестиугольная призма, метааугментированная шестиугольная призма, тройно аугментированная шестиугольная призма и аугментированная сфенокорона.

In architecture, the pyramids built in ancient Egypt are examples of buildings shaped like square pyramids. Pyramidologists have put forward various suggestions for the design of the Great Pyramid of Giza, including a theory based on the Kepler triangle and the golden ratio. However, modern scholars favor descriptions using integer ratios, as being more consistent with the knowledge of Egyptian mathematics and proportion. The Mesoamerican pyramids are also ancient pyramidal buildings similar to the Egyptian; they differ in having flat tops and stairs ascending their faces. Modern buildings whose designs imitate the Egyptian pyramids include the Louvre Pyramid and the casino hotel Luxor Las Vegas. In stereochemistry, an atom cluster can have a square pyramidal geometry. A square pyramidal molecule has a main group element with one active lone pair, which can be described by a model that predicts the geometry of molecules known as VSEPR theory. Examples of molecules with this structure include chlorine pentafluoride, bromine pentafluoride, and iodine pentafluoride. The base of a square pyramid can be attached to a square face of another polyhedron to construct new polyhedra, an example of augmentation. For example, a tetrakis hexahedron can be constructed by attaching the base of an equilateral square pyramid onto each face of a cube. Attaching prisms or antiprisms to pyramids is known as elongation or gyroelongation, respectively. Some of the other Johnson solids can be constructed by either augmenting square pyramids or augmenting other shapes with square pyramids: elongated square pyramid , gyroelongated square pyramid , elongated square bipyramid , gyroelongated square bipyramid , augmented triangular prism , biaugmented triangular prism , triaugmented triangular prism , augmented pentagonal prism , biaugmented pentagonal prism , augmented hexagonal prism , parabiaugmented hexagonal prism , metabiaugmented hexagonal prism , triaugmented hexagonal prism , and augmented sphenocorona .