Кіріспе
Векторлық есептеудегі векторлық оператор. Векторлық есептеудегі дивергенция.
divergence in vector calculus
Векторлық есептеуде дивергенция – векторлық өріс üzerinde жұмыс істейтін векторлық оператор, ол векторлық өрістің әрбір нүктедегі көзінің мөлшерін көрсететін скалярлық өріс тудырады. Техникалық тұрғыдан алғанда, дивергенция – берілген нүкте төңірегіндегі шексіз кішкентай көлемнен векторлық өрістің сыртқа қарайғы ағынының көлемдік тығыздығын көрсетеді. Мысалы, ауаның қызуын және салқындауын қарастырайық. Әрбір нүктедегі ауа жылдамдығы векторлық өрісті анықтайды. Егер ауа бір аймақта қызып, кеңейсе, жылдамдық өрісі сол аймақтан сыртқа қарай бағытталады. Сондықтан, осы аймақтағы жылдамдық өрісінің дивергенциясы оң мәнге ие болады. Ал ауа салқындап, жиырылса, жылдамдық дивергенциясы теріс мәнге ие болады.
Дивергенцияның физикалық түсіндіруі
Физикалық тұрғыдан алғанда, векторлық өрістің дивергенциясы – векторлық өрістің ағысының белгілі бір нүктеде көз сияқты қасиет танытуының өлшемі. Бұл оның "сыртқа қарай таралуының" жергіліктік өлшемі – кеңістіктің шексіз кішкентай аймағынан шығатын векторлардың, оған кіретін векторлардан көп болу деңгейі. Ағыс сыртқа қарай бағытталған нүкте оң дивергенцияға ие және көбінесе өрістің "көзі" деп аталады. Ағыс ішке қарай бағытталған нүкте теріс дивергенцияға ие және көбінесе өрістің "шөгіндісі" деп аталады. Белгілі бір нүктені қоршап тұрған кішкентай бет арқылы өрістің ағыны неғұрлым үлкен болса, сол нүктедегі дивергенцияның мәні соғұрлым жоғары болады. Қоршау бетінде ағын болмаса, онда дивергенция нөлге тең болады. Векторлық өрістің дивергенциясын сұйықтық, сұйық немесе газдың жылдамдық өрісінің қарапайым мысалы арқылы түсіндіру жиі кездеседі. Қозғалатын газдың әрбір нүктеде жылдамдығы, шапшаңдығы және бағыты болады, оны вектормен бейнелеуге болады, сондықтан газдың жылдамдығы векторлық өріс құрайды. Газды қыздырса, ол кеңейеді. Бұл газ бөлшектерінің барлық бағытта сыртқа қарай қозғалуына себеп болады. Газдағы кез келген жабық бет кеңейіп жатқан газды қоршап алады, сондықтан бет арқылы газдың сыртқа қарай ағыны болады. Осылайша, жылдамдық өрісінің барлық жерде оң дивергенциясы болады. Сол сияқты, газды салқындатса, ол жиырылады. Кез келген көлемде газ бөлшектері үшін көбірек орын пайда болады, сондықтан сұйықтың сыртқы қысымы газ көлемінің кез келген жабық бет арқылы ішке қарай ағынуына себеп болады. Сондықтан жылдамдық өрісінің барлық жерде теріс дивергенциясы болады. Керісінше, тұрақты температура мен қысымдағы газдың кез келген жабық беттен сыртқа қарайғы таза ағыны нөлге тең болады. Газ қозғалуы мүмкін, бірақ кез келген жабық бетке ағып кіретін газдың көлемдік жылдамдығы сыртқа ағып шығатын көлемдік жылдамдыққа тең болуы керек, сондықтан таза ағын нөлге тең. Осылайша, газдың жылдамдығы барлық жерде нөлдік дивергенцияға ие. Барлық жерде нөлдік дивергенцияға ие өріс соленоидты өріс деп аталады. Егер газды тек бір нүктеде немесе кішкентай аймақта қыздырса, немесе бір нүктеге қосымша газ беретін кішкентай түтік енгізілсе, онда газ кеңейеді, оның айналасындағы сұйықтық бөлшектерін барлық бағытта сыртқа итереді. Бұл газдың барлық бөлігінде қыздырылған нүктеге бағытталған сыртқа қарайғы жылдамдық өрісін тудырады. Жылытылған нүктеге жабық кез келген бет газ бөлшектерінің ағынынан өтеді, сондықтан сол нүктеде оң дивергенция болады. Алайда, нүктеге кірмейтін кез келген жабық беттің ішінде газдың тығыздығы тұрақты болады, сондықтан сұйықтық бөлшектері көлемді толтырғанша кіреді де, шығады, сондықтан көлемнен таза ағын нөлге тең. Сондықтан, кез келген басқа нүктеде дивергенция нөлге тең.
Жалпы координаттары
Эйнштейн белгісін қолдану арқылы біз x^(1), , x^(i), , x^(n ретінде жазатын жалпы координаттардағы дивергенцияны қарастыра аламыз, мұнда n – доменнің өлшемдерінің саны. Мұнда жоғарғы индекс координаттың немесе компоненттің санына қатысты, сондықтан x^(2) екінші компонентті, ал емес x-тің квадратын білдіреді. Индекстік i айнымалы x^(i сияқты кездейсоқ компонентті көрсетуге қолданылады. Дивергенцияны Восс-Вейл формуласы арқылы жазуға болады:
where is the local coefficient of the volume element and F^(i) are the components of with respect to the local unnormalized covariant basis (sometimes written as ). The Einstein notation implies summation over i, since it appears as both an upper and lower index. The volume coefficient ρ is a function of position which depends on the coordinate system. In Cartesian, cylindrical and spherical coordinates, using the same conventions as before, we have 1=ρ = 1, 1=ρ = r and 1=ρ = r^(2) sin θ, respectively. The volume can also be expressed as , where gab is the metric tensor. The determinant appears because it provides the appropriate invariant definition of the volume, given a set of vectors. Since the determinant is a scalar quantity which doesn't depend on the indices, these can be suppressed, writing The absolute value is taken in order to handle the general case where the determinant might be negative, such as in pseudo Riemannian spaces. The reason for the square root is a bit subtle: it effectively avoids double counting as one goes from curved to Cartesian coordinates, and back. The volume (the determinant) can also be understood as the Jacobian of the transformation from Cartesian to curvilinear coordinates, which for 1=n = 3 gives <math display="inline">\rho = \left
Some conventions expect all local basis elements to be normalized to unit length, as was done in the previous sections. If we write for the normalized basis, and for the components of 'F' with respect to it, we have that
using one of the properties of the metric tensor. By dotting both sides of the last equality with the contravariant element , we can conclude that After substituting, the formula becomes:
See for further discussion.
мұндағы ρ – көлем элементінің жергілікті коэффициенті, ал F^(i) – жергілікті нормаланбаған ковариантты негізге қатысты компоненттер (кейде былай жазылады ). Эйнштейн белгісі i-ге қатысты қосылуды білдіреді, өйткені ол жоғарғы және төменгі индекс ретінде пайда болады. Көлем коэффициенті ρ – координаталар жүйесіне байланысты орналасу функциясы. Картезиандық, цилиндрлік және сфералық координаттарда, бұрынғыдай бірдей конвенцияларды қолдана отырып, 1=ρ = 1, 1=ρ = r және 1=ρ = r^(2) sin θ болады. Көлемді , мұнда gab – метрикалық тензор ретінде де көрсетуге болады. Анықтамашы пайда болады, өйткені ол векторлар жиынтығын ескере отырып, көлемнің тиісті инвариантты анықтамасын береді. Детерминант индекстерге тәуелді емес скалярлық шама болғандықтан, оларды басып тастауға болады, яғни жазуға болады. Абсолюттік мән детерминант теріс болуы мүмкін жалпы жағдайды басқару үшін алынады, мысалы псевдо-Риман кеңістіктерінде. Квадрат түбірдің пайда болу себебі сәл күрделі: ол қисық координаталардан картезиандық координаталарға және кері қарай өтетін кезде екі рет санаудан сақтайды. Көлемді (анықтамашыны) сондай-ақ карталық координаталардан қисық сызықты координаталарға түрлендірудің Якобианды ретінде түсінуге болады, бұл 1=n = 3 үшін келесіні береді. Кейбір конвенциялар барлық жергілікті негіз элементтерін бірлік ұзындығына нормалауды талап етеді, бұл алдыңғы бөлімдерде жасалғандай. Егер нормаланған негізді және оған қатысты F компоненттерін деп жазсақ, онда метрикалық тензордың қасиеттерінің бірін пайдалана отырып, келесіні аламыз: Соңғы теңдіктің екі жағын да контравариант элементімен көбейту арқылы мынаны тұжырымдай аламыз: Орнына қойғаннан кейін формула мына түрге енеді:
where is the local coefficient of the volume element and F^(i) are the components of with respect to the local unnormalized covariant basis (sometimes written as ). The Einstein notation implies summation over i, since it appears as both an upper and lower index. The volume coefficient ρ is a function of position which depends on the coordinate system. In Cartesian, cylindrical and spherical coordinates, using the same conventions as before, we have 1=ρ = 1, 1=ρ = r and 1=ρ = r^(2) sin θ, respectively. The volume can also be expressed as , where gab is the metric tensor. The determinant appears because it provides the appropriate invariant definition of the volume, given a set of vectors. Since the determinant is a scalar quantity which doesn't depend on the indices, these can be suppressed, writing The absolute value is taken in order to handle the general case where the determinant might be negative, such as in pseudo Riemannian spaces. The reason for the square root is a bit subtle: it effectively avoids double counting as one goes from curved to Cartesian coordinates, and back. The volume (the determinant) can also be understood as the Jacobian of the transformation from Cartesian to curvilinear coordinates, which for 1=n = 3 gives <math display="inline">\rho = \left
Some conventions expect all local basis elements to be normalized to unit length, as was done in the previous sections. If we write for the normalized basis, and for the components of 'F' with respect to it, we have that
using one of the properties of the metric tensor. By dotting both sides of the last equality with the contravariant element , we can conclude that After substituting, the formula becomes:
See for further discussion.
Толыққанды талқылау үшін қараңыз.
where is the local coefficient of the volume element and F^(i) are the components of with respect to the local unnormalized covariant basis (sometimes written as ). The Einstein notation implies summation over i, since it appears as both an upper and lower index. The volume coefficient ρ is a function of position which depends on the coordinate system. In Cartesian, cylindrical and spherical coordinates, using the same conventions as before, we have 1=ρ = 1, 1=ρ = r and 1=ρ = r^(2) sin θ, respectively. The volume can also be expressed as , where gab is the metric tensor. The determinant appears because it provides the appropriate invariant definition of the volume, given a set of vectors. Since the determinant is a scalar quantity which doesn't depend on the indices, these can be suppressed, writing The absolute value is taken in order to handle the general case where the determinant might be negative, such as in pseudo Riemannian spaces. The reason for the square root is a bit subtle: it effectively avoids double counting as one goes from curved to Cartesian coordinates, and back. The volume (the determinant) can also be understood as the Jacobian of the transformation from Cartesian to curvilinear coordinates, which for 1=n = 3 gives <math display="inline">\rho = \left
Some conventions expect all local basis elements to be normalized to unit length, as was done in the previous sections. If we write for the normalized basis, and for the components of 'F' with respect to it, we have that
using one of the properties of the metric tensor. By dotting both sides of the last equality with the contravariant element , we can conclude that After substituting, the formula becomes:
See for further discussion.