Дивергенция в векторном анализе

Введение

Векторный оператор в векторном исчислении, дивергенция в векторном исчислении.

В векторном исчислении дивергенция — это векторный оператор, действующий на векторное поле и создающий скалярное поле, которое показывает количество источников векторного поля в каждой точке. Более точно, дивергенция представляет собой объемную плотность исходящего потока векторного поля из бесконечно малого объема вокруг заданной точки. В качестве примера рассмотрим воздух при нагревании или охлаждении. Скорость воздуха в каждой точке определяет векторное поле. Когда воздух нагревается в определенной области, он расширяется во всех направлениях, и, следовательно, поле скоростей направлено от этой области. Дивергенция поля скоростей в этой области, таким образом, будет иметь положительное значение. Когда воздух охлаждается и сжимается, дивергенция скорости будет иметь отрицательное значение.

Физическая интерпретация расхождения

В физическом выражении дивергенция векторного поля – это степень, в которой поток векторного поля проявляет себя как источник в данной точке. Это локальная мера его "исходящей" направленности – степень, в которой из бесконечно малой области пространства выходит больше векторов поля, чем входит в неё. Точка, из которой поток исходит, имеет положительную дивергенцию и часто называется "источником" поля. Точка, в которую поток направлен внутрь, имеет отрицательную дивергенцию и часто называется "стоком" поля. Чем больше поток поля через небольшую поверхность, окружающую данную точку, тем больше значение дивергенции в этой точке. Точка, в которой поток через окружающую поверхность равен нулю, имеет нулевую дивергенцию. Дивергенция векторного поля часто иллюстрируется на простом примере поля скоростей жидкости, жидкости или газа. Движущийся газ имеет скорость, величину и направление в каждой точке, которые можно представить вектором, поэтому скорость газа образует векторное поле. Если газ нагреть, он расширится. Это вызовет направленное движение частиц газа во все стороны. Любая замкнутая поверхность в газе будет заключать расширяющийся газ, поэтому через поверхность будет направлен внешний поток газа. Следовательно, поле скоростей будет иметь положительную дивергенцию везде. Аналогично, если газ охладить, он сожмется. В любом объеме будет больше места для частиц газа, поэтому внешнее давление жидкости вызовет направленный поток объема газа внутрь через любую замкнутую поверхность. Поэтому поле скоростей будет иметь отрицательную дивергенцию повсюду. Напротив, в газе при постоянной температуре и давлении чистый поток газа из любой замкнутой поверхности равен нулю. Газ может двигаться, но объемная скорость газа, входящего в любую замкнутую поверхность, должна быть равна объемной скорости, выходящей из неё, поэтому чистый поток равен нулю. Таким образом, скорость газа имеет нулевую дивергенцию повсюду. Поле, которое имеет нулевую дивергенцию повсюду, называется соленоидальным. Если газ нагревается только в одной точке или небольшой области, или вводится небольшая трубка, которая подает дополнительный газ в одной точке, газ там расширится, выталкивая частицы жидкости вокруг него во все стороны. Это вызовет исходящее поле скоростей по всему газу, сосредоточенное вокруг нагретой точки. Любая замкнутая поверхность, заключающая нагретую точку, будет иметь поток частиц газа, выходящих из неё, поэтому в этой точке будет положительная дивергенция. Однако любая замкнутая поверхность, не заключающая эту точку, будет иметь постоянную плотность газа внутри, поэтому столько же частиц жидкости входит в объем, сколько выходит из него, таким образом, чистый поток из объема равен нулю. Следовательно, дивергенция в любой другой точке равна нулю.

In physical terms, the divergence of a vector field is the extent to which the vector field flux behaves like a source at a given point. It is a local measure of its "outgoingness" – the extent to which there are more of the field vectors exiting from an infinitesimal region of space than entering it. A point at which the flux is outgoing has positive divergence, and is often called a "source" of the field. A point at which the flux is directed inward has negative divergence, and is often called a "sink" of the field. The greater the flux of field through a small surface enclosing a given point, the greater the value of divergence at that point. A point at which there is zero flux through an enclosing surface has zero divergence. The divergence of a vector field is often illustrated using the simple example of the velocity field of a fluid, a liquid or gas. A moving gas has a velocity, a speed and direction at each point, which can be represented by a vector, so the velocity of the gas forms a vector field. If a gas is heated, it will expand. This will cause a net motion of gas particles outward in all directions. Any closed surface in the gas will enclose gas which is expanding, so there will be an outward flux of gas through the surface. So the velocity field will have positive divergence everywhere. Similarly, if the gas is cooled, it will contract. There will be more room for gas particles in any volume, so the external pressure of the fluid will cause a net flow of gas volume inward through any closed surface. Therefore the velocity field has negative divergence everywhere. In contrast, in a gas at a constant temperature and pressure, the net flux of gas out of any closed surface is zero. The gas may be moving, but the volume rate of gas flowing into any closed surface must equal the volume rate flowing out, so the net flux is zero. Thus the gas velocity has zero divergence everywhere. A field which has zero divergence everywhere is called solenoidal. If the gas is heated only at one point or small region, or a small tube is introduced which supplies a source of additional gas at one point, the gas there will expand, pushing fluid particles around it outward in all directions. This will cause an outward velocity field throughout the gas, centered on the heated point. Any closed surface enclosing the heated point will have a flux of gas particles passing out of it, so there is positive divergence at that point. However any closed surface not enclosing the point will have a constant density of gas inside, so just as many fluid particles are entering as leaving the volume, thus the net flux out of the volume is zero. Therefore the divergence at any other point is zero.

Общие координаты

Используя обозначение Эйнштейна, мы можем рассматривать дивергенцию в общих координатах, которые мы записываем как x^(1), , x^(i), , x^(n), где n – число измерений области. Здесь верхний индекс относится к номеру координаты или компоненты, поэтому x^(2) относится ко второй компоненте, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i используется для обозначения произвольной компоненты, такой как x^(i). Дивергенция может быть записана с помощью формулы Восса — Вейля, как:

где – локальный коэффициент элемента объема, а F^(i) – компоненты по отношению к локальному ненормированному ковариантному базису (иногда записывается как ). Обозначение Эйнштейна подразумевает суммирование по i, поскольку оно появляется как верхний и нижний индекс. Коэффициент объема ρ является функцией положения, которая зависит от системы координат. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах, используя те же конвенции, что и ранее, у нас есть 1=ρ = 1, 1=ρ = r и 1=ρ = r^(2) sin θ, соответственно. Объем также может быть выражен как , где gab – метрический тензор. Детерминант появляется, поскольку он обеспечивает соответствующее инвариантное определение объема, заданного набором векторов. Поскольку детерминант является скалярной величиной, которая не зависит от индексов, их можно опустить, записывая . Абсолютное значение берется для обработки общего случая, когда детерминант может быть отрицательным, например, в псевдоримановых пространствах. Причина квадратного корня немного тонка: он эффективно избегает двойного подсчета при переходе от криволинейных к декартовым координатам и обратно. Объем (детерминант) также можно понимать как якобиан преобразования из декартовых в криволинейные координаты, что для 1=n = 3 дает <math display="inline">\rho = \left

Некоторые соглашения требуют, чтобы все элементы локального базиса были нормализованы до единичной длины, как это было сделано в предыдущих разделах. Если мы запишем для нормализованного базиса и для компонент 'F' относительно него, то имеем, что

используя одно из свойств метрического тензора. Умножая обе стороны последнего равенства скалярно на контравариантный элемент , мы можем заключить, что после подстановки формула примет вид:

Смотрите для дальнейшего обсуждения.