Кіріспе
Қолтаңбаланған цифрлармен жабдықталған позициялық жүйе; өрнегі бірегей болмауы мүмкін. Сандарды математикалық жазуда қолтаңбаланған цифрлік өрнек – бүтін сандарды кодтау үшін қолданылатын қолтаңбаланған цифрлар жиынтығы бар позициялық сандық жүйе. Қолтаңбаланған цифрлік өрнектер бүтін сандарды жылдам қосуға мүмкіндік береді, себебі олар тәуелді көшу тізбектерін жоюға болады. Бинарлық сандық жүйеде қолтаңбаланған цифрлік өрнектің ерекше жағдайы – жапсарлас емес түр, ол минимал қосымша орынды пайдаланып жылдамдық артықшылықтарын ұсынуға қабілетті.
In mathematical notation for numbers, a signed digit representation is a positional numeral system with a set of signed digits used to encode the integers. Signed digit representation can be used to accomplish fast addition of integers because it can eliminate chains of dependent carries. In the binary numeral system, a special case signed digit representation is the non adjacent form, which can offer speed benefits with minimal space overhead.
Тарих
Есептеудегі қиындықтар ертедегі авторларды Колсонды (1726) және Кошиді (1840) қол қойылған цифрлық бейнелеуді пайдалануға итермеледі. Жойылған цифрларды жаңаларымен алмастырудың келесі қадамын Селинг (1887) және Кахори (1928) ұсынды. 1928 жылы Флориан Кахори Колсоннан (1726) және Кошиден (1840) басталатын қол қойылған цифрлардың қайта-қайта кездесетін тақырыбын атап өтті. «Математикалық белгілер тарихы» атты кітабында Кахори бұл бөлімді «Теріс сандар» деп атады. Толықтыру үшін Колсон мысалдар келтіріп, қосуды (163–164 бб.), көбейтуді (165–166 бб.) және бөлуді (170–171 бб.) бөлгіштің көбейту кестесін пайдаланып сипаттайды. Ол көбейтуде қысқарту арқылы жуықтаудың ыңғайлылығын түсіндіреді. Колсон қол қойылған цифрларды пайдалана отырып есептеулерді жүзеге асыратын құралды (Сандық кесте) ойлап тапты. Эдуард Селлинг 1, 2, 3, 4 және 5 цифрларын теріс белгіні көрсету үшін кері айналдыруды ұсынды. Ол сондай-ақ оларды ауызша айту үшін snie, jes, jerd, reff және niff сөздерін қолдануды ұсынды. Басқа ерте дереккөздердің көпшілігі цифрдың үстіне сызық сызып теріс белгіні көрсеткен. 1902 жылы Клейн энциклопедиясында қол қойылған цифрлардың тағы бір неміс тіліндегі қолданысы сипатталды.
Сандар жиыны
Сандық цифрлардың шекті жиыны болсын, оның қуаты (егер , онда позициялық сандар жүйесі тривиалды болады және тек тривиалды сақинаны ғана көрсетеді), әр цифр үшін радикс немесе сандар негізі деп аталады. Егер ол бірегей функциямен байланысты болса, онда сандық таңбалы бейнелеу үшін қолданылуы мүмкін, барлық үшін осы функция, символдарға/глифтерге бүтін сандық мәндер қалай тағайындалатынын қатаң және формалды түрде белгілейді. Бұл формализмнің бір артықшылығы – "бүтін сандардың" (қалай анықталса да) анықтамасы оларды жазу/көрсететін нақты бір жүйемен шатастырылмайды; осылайша, бұл екі ерекше (бірақ тығыз байланысты) түсінік бөлек сақталады. жиынтығы үш бөлек жиынтыққа бөлінеді: , , және , тиісінше оң, нөл және теріс цифрларды көрсетеді, барлық үшін , барлық үшін және барлық үшін орындалады. жиынтығының қуаты , жиынтығының қуаты , және жиынтығының қуаты , оң және теріс цифрлардың санын береді, осындай .
This function, is what rigorously and formally establishes how integer values are assigned to the symbols/glyphs in One benefit of this formalism is that the definition of "the integers" (however they may be defined) is not conflated with any particular system for writing/representing them; in this way, these two distinct (albeit closely related) concepts are kept separate. can be partitioned into three distinct sets , , and , representing the positive, zero, and negative digits respectively, such that all digits satisfy , all digits satisfy and all digits satisfy The cardinality of is , the cardinality of is , and the cardinality of is , giving the number of positive and negative digits respectively, such that .
Теңгерімделген нысанды бейнелеулер
Теңгерімделген нысандағы бейнелеулер – әрбір оң санға сәйкес келетін теріс сан болатын бейнелеулер, яғни . Одан келеді, тек тақ негіздерде ғана теңгерімделген нысандағы бейнелеулер болуы мүмкін, әйтпесе сан өзінің қарама-қарсысы болып, демек 0-ге тең болуы керек, бірақ теңгерімделген нысанда теріс сандар әдетте санның үстінде сызықталған оң сандар ретінде белгіленеді, мысалы, үшін . Мысалы, теңгерімделген үштік жүйенің цифрлар жиыны , , және болады. Бұл конвенция тақ біріншілік ретті шекті өрістерде қолданылады.
Екі цифрлы таңбалы бейнелеу
Кез келген цифр жиыны, цифрлардың кері тәртібімен берілген қос цифр жиынына ие, және изоморфизм арқылы анықталады. Нәтижесінде, бағалауы бар жиыннан құрылған сандық жүйе сақинасының кез келген таңбалы цифрлық бейнелеуі үшін, бағалауы бар жиыннан құрылған қос таңбалы цифрлық бейнелеуі және изоморфизмі болады, мұнда – қосымша кері оператор. Теңгерілген формадағы бейнелеулер үшін цифр жиыны өзіне-өзі қос.
Ондық бөлшектер үшін
Егер бүтін сандарды Клейне плюс арқылы бейнелеуге болады, онда ондық бөлшектердің немесе адикалық рационал сандардың барлық таңбаланған цифрлық бейнелерінің жиыны, Клейне плюстың, кем дегенде бір цифры бар цифрлардың барлық шекті тізбектерінің, радикс нүктесінен (немесе) тұратын бір элементті жиынның және Клейне жұлдызының картезиандық көбейтіндісі болып табылады. Әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеуге бағалау сәйкес келеді.
Нақты сандар үшін
Егер бүтін сандарды Клейне плюс арқылы бейнелеуге болады, онда нақты сандардың барлық таңбаланған цифрлық бейнелерінің жиыны – Клейне плюстың Декарт көбейтіндісі, кем дегенде бір цифры бар цифрлардың барлық шекті тізбектерінің жиыны, радикс нүктесінен (немесе) тұратын бір элементті жиын, және Кантор кеңістігі – цифрлардың барлық шексіз тізбектерінің жиыны. Әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеуге сәйкес бағалау бар. Шегі жоқ қатар әрқашан шекті нақты санға жуықсады.
The infinite series always converges to a finite real number.
Саптар модулі
Бүтін сандардың модульге қатысты барлық белгілі цифрлық өрнектерінің жиынтығы, ұзындығы бар цифрлардың шекті тізбектерінің жиынтығымен беріледі. Әрбір белгілі цифрлық өрнектің мәні болады.
Prüfer топтары
Пруфер тобы – бүтін сандар мен p-адық рационал сандардың фактортобы. Пруфер тобының барлық таңбаланған цифрлық бейнелерінің жиынтығы Клейне жұлдызымен (*), цифрлардың барлық шекті тізбектерінің біріктірілген тізбегімен беріледі, мұнда әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеуге бағалау сәйкес келеді.
Дөңгелек тобы
Дөңгелек тобы – бүтін сандардың және нақты сандардың бөлу тобы. Дөңгелек тобының барлық таңбаланған цифрлық бейнелерінің жиынтығы Кантор кеңістігімен беріледі, яғни цифрлардың оң жақтан шексіз тізбектелген тізбектерінің жиынтығы. Әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеу үшін бағалау бар, және шексіз қатар әрқашан жинақталады.
The infinite series always converges.
-адикалық бүтін сандар
Адикалық бүтін сандардың барлық таңбаланған цифрлық бейнелерінің жиынтығы Кантор кеңістігімен беріледі, ол цифрлардың барлық сол жақтан шексіз жалғасқан тізбектерінің жиынтығы. Әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеуге бағалау сәйкес келеді.
-адикалық соленоидтар
Адикалық соленоидтардың барлық таңбаланған цифрлық бейнелеулерінің жиынтығы Кантор кеңістігімен беріледі, яғни цифрлардың барлық екі жақты шексіз тіркесілген тізбектерінің жиынтығы. Әрбір таңбаланған цифрлық бейнелеуге бағалау сәйкес келеді.
Уақытты сақтау
Ағылшын тілінде уақытты, мысалы, "жетіден үшке дейін" деп айту қалыпты, мұнда "to" сөзі жоқтықты білдіреді.
Басқа жүйелер
Басқа да қолтаңбаланған цифрлық негіздер бар, мұнда негіз A ерекшеленеді. Бұған мысал ретінде Бут кодтамасын келтіруге болады, оның цифрлық жиынтығында және бар, бірақ ол негізді пайдаланады. Стандартты екілік сандық жүйе тек мәніндегі цифрларды қолданады. Ескеріңіз, стандартты емес қолтаңбаланған цифрлық өрнектеулер бірегей емес. Мысалы:
Note that non standard signed digit representations are not unique. For instance:
Бут кодтамасының жанындас емес түрі (NAF) әрбір бүтін сан мәні үшін бірегей өрнектеуді кепілдендіреді. Алайда, бұл тек бүтін сандарға ғана қатысты. Мысалы, NAF-те келесі қайталанатын екілік сандарды қарастырайық:
Ескертпелер мен сілтемелер
Дж. П. Балантин (1925) «Теріс бір үшін сан», Америка математикалық журналы 32:302. Луи Хан, Донгдонг Чен, Сёк Бум Ко, Хан А. Вахид, Саскачеван университетінің Электр және компьютерлік инженерия факультетінен «Спекуляциялық емес ондық таңбалы қосу машинасы».