Ондық сандар жүйесі

Кіріспе

10-дық сандар жүйесі

Ондық сандар жүйесі (сондай-ақ ондық позициялық сандар жүйесі және денарийлік /d//iː//n//ər//i/ немесе деканарийлік деп те аталады) – бүтін және бүтін емес сандарды көрсетудің стандартты жүйесі. Бұл индус-араб сандар жүйесінің бүтін емес сандарға (ондық бөлшектерге) кеңейтілген түрі. Ондық жүйеде сандарды көрсету тәсілі көбінесе ондық нотация деп аталады. Ондық сан (көбінесе ондық немесе, дұрыс емес, ондық сан) ондық сандар жүйесіндегі санның жазылуын білдіреді. Ондық сандар кейде ондық бөлігішпен (әдетте "." немесе ",", мысалы, 25.9703 немесе 3,1415) белгіленеді. Ондық сан ондық бөлігіштен кейінгі цифрларға да қатысты болуы мүмкін, мысалы, "3.14 екі ондық таңбаға дейін жуықтау". Ондық бөлігіштен кейінгі нөлдік цифрлар мәннің дәлдігін көрсету үшін қолданылады. Ондық жүйеде бейнелене алатын сандар ондық бөлшектер болып табылады, яғни a/10^(n) түріндегі бөлшектер, мұнда a – бүтін сан, ал n – теріс емес бүтін сан. Ондық бөлшектер бүтін сан мен бөлшектің қосындысынан да пайда болады; нәтижедегі қосынды кейде бөлшектік сан деп аталады. Ондық сандар нақты сандарды жуықтау үшін жиі қолданылады. Ондық бөлігіштен кейінгі цифрлардың санын арттыру арқылы, егер жаңа цифрларды есептеу әдісі болса, жуықтау қатесін қалағанша кішірейтуге болады. Бастапқыда және көп жағдайда ондық сан ондық бөлігіштен кейін шекті санда ғана цифрлерге ие. Алайда, ондық жүйе кез келген нақты санды көрсету үшін ондық бөлігіштен кейін шексіз цифрлар тізбесін пайдалану арқылы шексіз ондықтарға дейін кеңейтілді (ондық көрсетуді қараңыз). Осы контексте, ондық бөлігіштен кейін нөлдік емес шекті сандағы цифрлары бар әдеттегі ондықтар кейде аяқталатын ондықтар деп аталады. Қайталанатын ондық – бұл белгілі бір орыннан кейін цифрлар тізбегін шексіз қайталайтын шексіз ондық. Шексіз ондық рационалды санды, екі бүтін санның бөліндісін, егер және тек егер ол қайталанатын ондық болса немесе нөлдік емес шекті сандағы цифрлары болса ғана көрсетеді.

The decimal numeral system (also called the base ten positional numeral system and denary '/d//iː//n//ər//i/ or decanary) is the standard system for denoting integer and non integer numbers. It is the extension to non integer numbers (decimal fractions) of the Hindu–Arabic numeral system. The way of denoting numbers in the decimal system is often referred to as decimal notation. A decimal numeral (also often just decimal or, less correctly, decimal number), refers generally to the notation of a number in the decimal numeral system. Decimals may sometimes be identified by a decimal separator (usually "." or "," as in 25.9703 or 3,1415). Decimal may also refer specifically to the digits after the decimal separator, such as in "3.14 is the approximation of to two decimals". Zero digits after a decimal separator serve the purpose of signifying the precision of a value. The numbers that may be represented in the decimal system are the decimal fractions. That is, fractions of the form a/10^(n), where a is an integer, and n is a non negative integer. Decimal fractions also result from the addition of an integer and a fractional part; the resulting sum sometimes is called a fractional number. Decimals are commonly used to approximate real numbers. By increasing the number of digits after the decimal separator, one can make the approximation errors as small as one wants, when one has a method for computing the new digits. Originally and in most uses, a decimal has only a finite number of digits after the decimal seperator. However, the decimal system has been extended to infinite decimals for representing any real number, by using an infinite sequence of digits after the decimal separator (see decimal representation). In this context, the usual decimals, with a finite number of non zero digits after the decimal separator, are sometimes called terminating decimals. A repeating decimal is an infinite decimal that, after some place, repeats indefinitely the same sequence of digits (e. g., ). An infinite decimal represents a rational number, the quotient of two integers, if and only if it is a repeating decimal or has a finite number of non zero digits.

Шығу тегі

Көне цивилизациялардың көптеген сандық жүйелері сандарды көрсету үшін онды және оның дәрежелерін пайдаланды, мүмкін, себебі екі қолда он саусақ бар және адамдар саусақтарын қолдана отырып санауды бастады. Мысалдарға ең алдымен египеттік сандар, содан кейін брахми сандары, грек сандары, еврей сандары, рим сандары және қытай сандары жатады. Бұл ескі сандық жүйелерде өте үлкен сандарды көрсету қиын болды, және тек ең білгір математиктер ғана үлкен сандарды көбейтуге немесе бөлуге қабілетті болды. Бұл қиындықтар бүтін сандарды көрсету үшін индуистік-араб сандық жүйесі енгізілуімен толық шешілді. Бұл жүйе ондық сандық жүйені құру үшін ондық бөлшектер немесе ондық сандар деп аталатын бүтін емес сандарды көрсетуге кеңейтілді.

Ондық белгі

Сандарды жазу үшін ондық жүйе ондық цифрларды, ондық белгіні және теріс сандар үшін минус белгісін "−" пайдаланады. Ондық цифрлар: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ондық бөлгіш көптеген елдерде (көбінесе ағылшын тілінде) нүкте "." болып табылады, ал басқа елдерде үтір "," қолданылады. Мысалы, ондық өрнектер , , және , бөлшектерін көрсетеді, демек, ондық бөлшектерді білдіреді. Ондық өрнекте (шекті сандар санымен) көрсетілмейтін бөлшектің мысалы: , себебі 3 – 10-ның дәрежесі емес. Жалпы алғанда, бөлгіштен (нүкте немесе үтір) кейін n цифры бар ондық сан 10^(n) бөлімі бар бөлшекті білдіреді, ал оның алымы бөлгішті жою арқылы алынған бүтін сан болады. Осыдан келіп, сан ондық бөлшек болады, егер және тек қана оның ондық өрнегі шекті болса. Толық қысқартылған бөлшектер түрінде жазылғанда, ондық сандардың бөлімі 2-нің және 5-тің дәрежелерінің көбейтіндісі болады. Осылайша, ондық сандардың ең кіші бөлімдері – .

Ондық сандарды қолдану арқылы шамалау

Ондық сандар барлық нақты сандарды дәл көрсетуге мүмкіндік бермейді. Дегенмен, олар кез келген нақты санды кез келген қажетті дәлдікпен жуықтауға мүмкіндік береді, мысалы, 3.14159 ондығы π санын жуықтайды, 10−5-тен кем қателікпен; сондықтан ондықтар ғылымда, инженерияда және күнделікті өмірде кеңінен қолданылады. Нақтырақ айтқанда, әр нақты сан x және әр оң бүтін сан n үшін, ондық белгіден кейін ең көп дегенде n цифры бар L және u екі ондық саны бар, осылайша L ≤ x ≤ u және u − L = 10^(−n). Сандар көбінесе өлшеу нәтижесінде алынады. Өлшеулер белгілі жоғарғы шегі бар өлшеу қателігіне ұшырайды, сондықтан өлшеу нәтижесі ондық белгіден кейін n цифры бар ондық санмен жақсы бейнеленеді, егер абсолютті өлшеу қатесі 10^(−n) арқылы жоғарыдан шектелсе. Іс жүзінде өлшеу нәтижелері көбінесе ондық белгіден кейін белгілі бір санмен беріледі, бұл қателік шегін көрсетеді. Мысалы, 0.080 және 0.08 бірдей санды білдірсе де, 0.080 ондық саны 0.001-ден кем қателікпен өлшеуді білдіреді, ал 0.08 саны 0.01-ге дейін шектелген абсолютті қателікті білдіреді. Екі жағдайда да өлшенген шаманың нақты мәні, мысалы, 0.0803 немесе 0.0796 болуы мүмкін (сондай-ақ маңызды цифрлерді қараңыз).

Рационалды сандар

Ұзын бөлу рационалды санның шексіз ондық кеңейтуін есептеуге мүмкіндік береді. Егер рационалды сан ондық бөлшек болса, бөліну соңында тоқтап, ондық сан шығады, оны шексіз көп нөлдер қосу арқылы шексіз кеңейтуге болады. Егер рационалды сан ондық бөлшек болмаса, бөліну шексіз жалғасуы мүмкін. Дегенмен, барлық келесі қалдықтар бөлгіштен кіші болғандықтан, мүмкін қалдықтардың саны шектеулі, ал белгілі бір орыннан кейін үлестікте цифрлардың бірдей тізбегі шексіз қайталана бастайды. Яғни, қайталанатын ондық сан пайда болады. Мысалы, = 0.012345679012 (012345679 тобы шексіз қайталанады). Керісі де дұрыс: егер санның ондық өрнегіндегі бір нүктеден бастап цифрлардың бір тізбегі шексіз қайталаса, онда ол сан рационалды болады. Мысалы, егер x = 0.4156156156 болса, онда 10,000x = 4156.156156156 және 10x = 4.156156156, сондықтан 10,000x – 10x, яғни 9,990x = 4152.000000000, ал x = немесе, есептегіш пен бөлгішті 6-ға бөлу.

Ондық есептеу

Қазіргі заманғы компьютерлік аппараттық және бағдарламалық жүйелердің көпшілігі ішкі түрде бинарлық бейнелеуді қолданады (бірақ ENIAC немесе IBM 650 сияқты көптеген ерте компьютерлер ішкі түрде ондық бейнелеуді қолданған). Компьютер мамандарының сыртқы пайдалануы үшін бұл екілік бейнелеу кейде октальдық немесе гексадецималдық жүйелерде ұсынылады. Дегенмен, көптеген жағдайларда екілік мәндер адамдарға көрсету немесе енгізу үшін теңдестірілген ондық мәндерге түрлендіріледі немесе олардан түрлендіріледі; компьютерлік бағдарламалар әдетте ондық сандарды тікелей көрсетеді. (Мысалы, 123.1 саны компьютерлік бағдарламада осылай жазылады, тіпті көптеген компьютерлік тілдер бұл санды дәл кодтай алмаса да.) Компьютерлік аппараттық және бағдарламалық қамтамасыз ету де ондық мәндерді сақтау және арифметикалық амалдар жасау үшін ішкі түрде ондыққа ұқсас бейнелеулерді қолданады. Көбінесе бұл арифметика екілік кодталған ондықтың бірнеше түрін пайдаланады, әсіресе деректер базасында, бірақ басқа ондық бейнелеулер де қолданылады (оның ішінде, IEEE 754 стандартының жаңа редакцияларындағы сияқты, ондық үзіліс нүктесі). Ондық арифметика компьютерлерде қолданылу себебі – бөлшек бөлігінің белгілі бір ұзындығы бар сандарды қосу (немесе алу) нәтижесінде алынған ондық бөлшектік нәтижелердің дәлдігі осы ұзындықта сақталуын қамтамасыз ету. Бұл, әсіресе, қаржылық есептеулер үшін маңызды, мысалы, бухгалтерлік мақсаттар үшін нәтижелерде ең кішкентай валюта бірлігінің толық еселері болуы керек. Бұл екілік жүйеде мүмкін емес, себебі теріс дәрежелердің шекті екілік бөлшек түрі жоқ; сондай-ақ көбейту (немесе бөлу) кезінде де мұндай нәтиже алу қиын. Дәл есептеулер үшін өте нақты арифметика қарастырылсын.

Табиғи тілдер

Үндістанда он символ жиынтығын пайдаланып, барлық мүмкін табиғи сандарды білдіру әдісі пайда болды. Көптеген үнді тілдерінде қарапайым ондық жүйе кездеседі. Дравид тілдерінде 10-нан 20-ға дейінгі сандар 10-ға қосудың тұрақты үлгісімен беріледі. Венгр тілі де қарапайым ондық жүйені қолданады. 10 мен 20 арасындағы барлық сандар жүйелі түрде құрастырылады (мысалы, 11 саны "tizenegy" деп көрсетіледі, яғни "онға бір"), 20 мен 100 арасындағы сандар сияқты (23 саны "huszonhárom" = "жиырмаға үш"). Әр разрядқа сөз тағайындалған (10 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万) ондық жүйе, онда 11 – он бір, 23 – екі он үш, ал 89 345 – 8 (он мың) 万 9 (мың) 千 3 (жүз) 百 4 (он) 十 5 қытай тілінде кездеседі, ал вьетнам тілінде кейбір ерекшеліктер бар. Жапон, корей және тай тілдері қытайдың ондық жүйесін қабылдаған. Ондық жүйесі бар көптеген басқа тілдерде 10 мен 20 арасындағы сандар мен ондықтар үшін арнайы сөздер бар. Мысалы, ағылшын тілінде 11 саны "он бір" деп аталады, "оннан бір" немесе "бір жасөспірім" емес. Инка тілдерінде, мысалы, кечуа және аймара тілдерінде дерлік қарапайым ондық жүйе бар, онда 11 саны "он плюс бір", ал 23 саны "екі он плюс үш" деп беріледі. Кейбір психологтар ағылшын тіліндегі сандардың атауларындағы бұзылулар балалардың санау қабілетін қиындатуы мүмкін деп санайды.

Басқа негіздер

Кейбір мәдениеттер сандардың басқа негіздерін қолданған немесе қолданады. Мысалы, Колумбияға дейінгі мезоамерикандық мәдениеттердің бірі – майялар 20-лық санау жүйесін пайдаланған (мүмкін, барлық жиырма саусақтары мен аяқ-балаларына сүйеніп). Калифорниядағы юки тілі мен Мексикадағы памеан тілдерінде 8-ге негізделген (октальдық) санау жүйесі бар, себебі олар саусақтарының аралықтарын санайды, саусақтарының өзін емес. Герман тілдерінің ең ерте іздерінде ондық емес негіздің болуы, ондық санауды білдіретін сөздер мен түсіндірмелердің болуымен куәландырылады ("ондық санау" немесе "ондық есеп" сияқты); егер қалыпты санау ондық болмаса, мұндай күтіледі, ал егер ондық болса, бұл ерекше жағдай. Бұл санау жүйесі белгілі болған жерлерде, ол "ұзын жүз" = 120 және "ұзын мың" = 1200 негізінде құрылған. "Ұзын" сипаттамалары тек 100-дің "кіші жүзі" христиандармен бірге пайда болғаннан кейін қолданыла бастады. Гордонның "Ескі скандинав тіліне кіріспе" еңбегінің 293-бетінде осы жүйеге жататын сан есімдері келтірілген. "Жүз сексен" дегенге сәйкес келетін сөз 200-ді, ал "екі жүз" дегенге сәйкес келетін сөз 240-ты білдіреді. Гудэр Шотландиядағы орта ғасырлардағы ұзын жүздің қолданылуын егжей-тегжейлі сипаттайды, мысалы, 120-ны i C (яғни, жүз) ретінде көрсететін есептеулерді келтіреді. Халықтың мұндай сандарды кездестіргенде алаңдамауы олардың жиі қолданылуын көрсетеді. Сондай-ақ, ұзақ санаудың орнына, тас және фунт сияқты аралық өлшемдерді пайдалану арқылы жүзге ұқсас сандардан аулақ болуға болады. Гудэр бір жүзді болдырмау үшін кеңейтілген ондықтарды қолданатын vii ондық сияқты сандардың мысалдарын келтіреді. В. Х. Стивенсонның "Ұзын жүз және Англиядағы қолданысы" атты мақаласы да бар. Чумша тілдерінің көпшілігі немесе барлығы бастапқыда 4-тік санау жүйесін қолданған, онда сандардың атаулары 4 және 16-ның еселігіне сәйкес құрылған. Көптеген тілдер 5-тік (бес негізді) санау жүйесін қолданады, оның ішінде гуматж, нуггубую, куурн копан ноот және саравека тілдері бар. Олардың ішінде гуматж тілі ғана 5-25 тілі болып табылады, онда 25 – бес топтың үлкені. Кейбір нигериялықтар он екілік санау жүйесін қолданады. Үндістан мен Непалдағы кейбір шағын қауымдар да өз тілдерінде осы туралы айтады. Папуа – Жаңа Гвинеядағы хули тілінде 15-тік санау жүйесі бар екені хабарланады. Нгуи – 15, нгуи ки – 15 × 2 = 30, ал нгуи нгуи – 15 × 15 = 225 дегенді білдіреді. Умбу Унгу, сондай-ақ Каколи деп те аталады, 24-тік санау жүйесіне ие екені хабарланады. Токапу – 24, токапу талу – 24 × 2 = 48, ал токапу токапу – 24 × 24 = 576 дегенді білдіреді. Нгитиде 32-ге негізделген, 4-тік циклдармен жұмыс істейтін санау жүйесі бар. Mer – 6, mer an thef – 6 × 2 = 12, nif – 36, ал nif thef – 36 × 2 = 72 дегенді білдіреді.

Some cultures do, or did, use other bases of numbers. Pre Columbian Mesoamerican cultures such as the Maya used a base 20 system (perhaps based on using all twenty fingers and toes). The Yuki language in California and the Pamean languages in Mexico have octal (base 8) systems because the speakers count using the spaces between their fingers rather than the fingers themselves. The existence of a non decimal base in the earliest traces of the Germanic languages is attested by the presence of words and glosses meaning that the count is in decimal (cognates to "ten count" or "tenty wise"); such would be expected if normal counting is not decimal, and unusual if it were. Where this counting system is known, it is based on the "long hundred" = 120, and a "long thousand" of 1200. The descriptions like "long" only appear after the "small hundred" of 100 appeared with the Christians. Gordon's Introduction to Old Norse p. 293, gives number names that belong to this system. An expression cognate to 'one hundred and eighty' translates to 200, and the cognate to 'two hundred' translates to 240. Goodare details the use of the long hundred in Scotland in the Middle Ages, giving examples such as calculations where the carry implies i C (i. e. one hundred) as 120, etc. That the general population were not alarmed to encounter such numbers suggests common enough use. It is also possible to avoid hundred like numbers by using intermediate units, such as stones and pounds, rather than a long count of pounds. Goodare gives examples of numbers like vii score, where one avoids the hundred by using extended scores. There is also a paper by W. H. Stevenson, on 'Long Hundred and its uses in England'. Many or all of the Chumashan languages originally used a base 4 counting system, in which the names for numbers were structured according to multiples of 4 and 16. Many languages use quinary (base 5) number systems, including Gumatj, Nunggubuyu, Kuurn Kopan Noot and Saraveca. Of these, Gumatj is the only true 5–25 language known, in which 25 is the higher group of 5. Some Nigerians use duodecimal systems. So did some small communities in India and Nepal, as indicated by their languages. The Huli language of Papua New Guinea is reported to have base 15 numbers. Ngui means 15, ngui ki means 15 × 2 = 30, and ngui ngui means 15 × 15 = 225. Umbu Ungu, also known as Kakoli, is reported to have base 24 numbers. Tokapu means 24, tokapu talu means 24 × 2 = 48, and tokapu tokapu means 24 × 24 = 576. Ngiti is reported to have a base 32 number system with base 4 cycles. Mer means 6, mer an thef means 6 × 2 = 12, nif means 36, and nif thef means 36×2 = 72.