Введение

Позиционная система со знаковой цифровой системой; представление может быть не единственным. В математической записи чисел, система со знаковой цифровой системой представляет собой позиционную систему с набором знаковых цифр, используемых для кодирования целых чисел. Представление со знаковой цифровой системой может быть использовано для быстрого сложения целых чисел, поскольку оно позволяет избежать цепочек зависимых переносов. В двоичной системе счисления особым случаем представления со знаковой цифровой системой является не соседняя форма, которая может обеспечить прирост скорости с минимальными дополнительными затратами памяти.

История

Проблемы в вычислениях побудили ранних авторов Колсона (1726) и Коши (1840) использовать представление чисел со знаком. Дальнейший шаг по замене отрицательных цифр на новые был предложен Селлингом (1887) и Кажори (1928). В 1928 году Флориан Кажори отметил повторяющуюся тему чисел со знаком, начиная с работ Колсона (1726) и Коши (1840). В своей книге "История математических обозначений" Кажори назвал раздел "Отрицательные числа". Для полноты картины Колсон использует примеры и описывает сложение (стр. 163–164), умножение (стр. 165–166) и деление (стр. 170–171) с использованием таблицы кратных делителя. Он объясняет удобство приближения путем отсечения при умножении. Колсон также разработал прибор (счетную таблицу), который выполнял вычисления, используя числа со знаком. Эдуард Селлинг предлагал инвертировать цифры 1, 2, 3, 4 и 5 для обозначения отрицательного знака. Он также предложил использовать слова snie, jes, jerd, reff и niff в качестве устных обозначений. Большинство других ранних источников использовали черту над цифрой для обозначения отрицательного знака. Еще один пример использования чисел со знаком в немецкой практике был описан в 1902 году в энциклопедии Кляйна.

Цифровая набор

Пусть – конечное множество числовых цифр с кардинальностью (если , то позиционная система счисления тривиальна и представляет только тривиальное кольцо), где каждая цифра обозначается как для . Величина , известна как основание системы счисления или радикс. может использоваться для представления чисел со знаком, если она связана с уникальной функцией такой, что для всех . Эта функция строго и формально определяет, как целые значения присваиваются символам (глифам) в . Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение "целых чисел" (независимо от того, как они определены) не смешивается с какой-либо конкретной системой записи/представления чисел; таким образом, эти два различных (хотя и тесно связанных) понятия остаются раздельными. можно разбить на три непересекающихся множества: , , и , представляющих положительные, нулевые и отрицательные цифры соответственно, так что для всех выполняется , для всех выполняется , и для всех выполняется . Кардинальность равна , кардинальность равна , а кардинальность равна , что определяет количество положительных и отрицательных цифр соответственно, при этом выполняется условие .

Сбалансированные формы представления

Представления сбалансированной формы — это представления, в которых для каждой положительной цифры *d* существует соответствующая отрицательная цифра *-d* такая, что *d* + (-*d*) = 0. Отсюда следует, что сбалансированные представления возможны только в нечетных системах счисления, поскольку в противном случае цифра должна быть противоположна самой себе, то есть равна 0, что недопустимо в сбалансированной форме. В сбалансированной форме отрицательные цифры обычно обозначаются как положительные цифры с чертой над ними, например, для системы счисления с основанием *b* это выглядит как . Например, множество цифр для сбалансированной троичной системы будет {–1, 0, 1}, где –1 обозначается как 1̄, 0 как 0, а 1 как 1. Эта конвенция используется в конечных полях с простым порядком, отличным от 2.

Двузначное представление

Для каждого набора цифр существует двойственный набор цифр, заданный обратным порядком цифр, с изоморфизмом, определенным как . Следовательно, для любого представления со знаком цифр кольца системы счисления, построенного из с оценкой , существует двойственное представление со знаком цифр , , построенное из с оценкой , и изоморфизм, определенный как , где — оператор аддитивного обратного. Набор цифр для сбалансированных представлений является самодвойственным.

Для десятичных дробей

Если целые числа могут быть представлены с помощью плюса Клине, то множество всех представлений чисел в системе с знаком для десятичных дробей или p-адических рациональных чисел задается как декартово произведение плюса Клине, множества всех конечных конкатенированных строк цифр, содержащих хотя бы одну цифру, синглтона, состоящего из разделителя целой и дробной части (или ), и звезды Клине, множества всех конечных конкатенированных строк цифр, причем каждое представление с знаком имеет оценку.

Для действительных чисел

Если целые числа могут быть представлены с помощью звезды Клине, то множество всех представлений действительных чисел со знаком задается как декартово произведение звезды Клине, множества всех конечных конкатенаций цифр, содержащих хотя бы одну цифру, синглетона, состоящего из разделителя целой и дробной части (или ), и пространства Кантора, множества всех бесконечных конкатенаций цифр, причем каждое представление со знаком имеет оценку. Бесконечный ряд всегда сходится к конечному действительному числу.

Целые числа модуль к степеням

Множество всех представлений целых чисел по модулю в виде знаковых цифр задается множеством , множеством всех конечных конкатенированных строк цифр длины , причем каждое знаковое представление имеет оценку.

Группы Пруфера

Группа Пруфера — это факторгруппа целых чисел и p-адических рациональных чисел. Множество всех представлений с знаком элементов группы Пруфера задается звездой Клине, множеством всех конечных конкатенаций цифр, причем каждое представление с знаком имеет валентность.

Круговая группа

Круговая группа — это факторгруппа целых чисел и действительных чисел. Множество всех представлений со знаком (signed digit representations) круговой группы задается пространством Кантора, множеством всех право-бесконечных конкатенированных строк цифр. Каждое представление со знаком имеет оценку. Бесконечный ряд всегда сходится.

-адические целые числа

Множество всех представлений целых p-адических чисел в виде чисел со знаком задается пространством Кантора, множеством всех бесконечных слева последовательностей цифр. Каждое представление в виде числа со знаком имеет валентность.

-адические соленоиды

Множество всех представлений в системе со знаком для адических соленоидов задается пространством Кантора, множеством всех бесконечно удлиненных в обе стороны последовательностей цифр. Каждое представление в системе со знаком имеет валентность.

Соблюдение времени

В английском языке принято указывать время, например, как "seven to three", где предлог "to" выполняет функцию обозначения времени до указанного часа.

Другие системы

Существуют и другие системы счисления со знаковыми цифрами, такие как основание A. Ярким примером является кодирование Бута, которое имеет набор цифр с -1 и 1, но использует основание 2. Стандартная двоичная система счисления использует только цифры со значением 0 и 1. Следует отметить, что нестандартные представления со знаковыми цифрами не являются уникальными. Например:

Неприлегающая форма (NAF) кодирования Бута гарантирует уникальное представление для каждого целого числа. Однако это применимо только к целым числам. Например, рассмотрим следующие повторяющиеся двоичные числа в NAF:

Примечания и ссылки

Дж. П. Балантайн (1925) «Цифра для отрицательной единицы», Американский математический ежемесячник 32:302. Луи Хан, Донгдон Чен, Сёк Бум Ко, Хан А. Вахид «Десятичный сумматор со знаковыми цифрами без спекуляций» из Департамента электротехники и компьютерной инженерии Университета Саскачевана.