Кіріспе
Сызықтық алгебра тұжырымдамасы
Сызықтық алгебрада, индекстік жиынмен индекстелген векторлардың негізі бар векторлық кеңістік берілген (жиынның кардиналдығы – кеңістіктің өлшемі), оның екілік жиыны – бұл екілік кеңістіктегі векторлар жиыны, олар бірдей индекстік жиынды құрайды және биоортогоналды жүйені құрайды. Екілік жиын әрқашан сызықтық тәуелсіз, бірақ міндетті түрде кеңістікті жаба қоймайды. Егер жабатын болса, онда ол негіздің екілік немесе өзара негіз деп аталады. Индекстелген векторлық жиындарды және деп белгілейтін болсақ, биоортогоналды болу дегеніміз – элементтер жұбының ішкі көбейтіндісі индекстер тең болғанда 1-ге, ал тең болмағанда 0-ге тең болады. Символдық түрде, бастапқы кеңістіктегі вектордағы екілік векторды бағалау:
In linear algebra, given a vector space with a basis of vectors indexed by an index set (the cardinality of is the dimension of ), the dual set of is a set of vectors in the dual space with the same index set such that and form a biorthogonal system. The dual set is always linearly independent but does not necessarily span If it does span , then is called the dual basis or reciprocal basis for the basis
Denoting the indexed vector sets as and , being biorthogonal means that the elements pair to have an inner product equal to 1 if the indexes are equal, and equal to 0 otherwise. Symbolically, evaluating a dual vector in on a vector in the original space :
мұндағы – Кронекер дельта символы.
Кіріспе
Вектормен операциялар жасау үшін, оның компоненттерін есептеудің тікелей әдісі болуы керек. Картезиандық координаттар жүйесінде қажетті операция – вектор мен базистік вектордың скалярлық көбейтіндісі болып табылады. Мысалы,
мұнда – Картезиандық координаттар жүйесінің базисі. -ның компоненттерін былай табуға болады:
Дегенмен, Картезиандық емес координаттар жүйесінде, барлық үшін міндетті түрде орындалмайды. Алайда, екілік кеңістіктегі векторларды табу әрқашан мүмкін, олар үшін:
Теңдік, егер -тар -тың екілік базисі болғанда ғана орындалады. Индекстің орналасу айырмашылығына назар аударыңыз.
Бар болу және бірегейлігі
Дуаль жиын әрқашан болады және V-ден V∗-қа инъекция береді, атап айтқанда, vi-ді vi-ге жіберетін бейнелеу. Бұл, ерекше айтқанда, дуаль кеңістіктің V-тің өлшемінен үлкен немесе тең өлшемді екенін көрсетеді. Дегенмен, шексіз өлшемді V-тің дуаль жиыны оның дуаль кеңістігі V∗-ты толық қамтымайды. Мысалы, V-ден F-ге 1=w(vi) = 1 шартымен берілген w бейнелеуін қарастырайық, барлық i үшін. Бұл бейнелеу әрине, барлық vi үшін нөлдік емес. Егер w, vi дуаль негіз векторларының шекті сызықтық комбинациясы болса, яғни I жиынының K шекті ішкі жиыны үшін, онда K-ға жатпайтын кез келген j үшін, w анықтамасына қайшы болады. Демек, бұл w дуаль жиынның құрамында жатпайды. Шексіз өлшемді кеңістіктің дуалы, бастапқы кеңістіктен үлкен өлшемге (яғни үлкен шексіз кардиналдыққа) ие, сондықтан олардың бірдей индекстеу жиынымен негізі болуы мүмкін емес. Алайда, векторлардың дуаль жиыны бар, ол бастапқы кеңістікке изоморфты болатын дуаль кеңістіктің ішкі кеңістігін анықтайды. Бұдан әрі, топологиялық векторлық кеңістіктер үшін, үздіксіз дуаль кеңістік анықталуы мүмкін, онда дуаль негіз болуы мүмкін.
However, the dual set of an infinite dimensional V does not span its dual space V∗. For example, consider the map w in V∗ from V into the underlying scalars F given by 1=w(vi) = 1 for all i. This map is clearly nonzero on all vi. If w were a finite linear combination of the dual basis vectors vi, say for a finite subset K of I, then for any j not in K, , contradicting the definition of w. So, this w does not lie in the span of the dual set. The dual of an infinite dimensional space has greater dimension (this being a greater infinite cardinality) than the original space has, and thus these cannot have a basis with the same indexing set. However, a dual set of vectors exists, which defines a subspace of the dual isomorphic to the original space. Further, for topological vector spaces, a continuous dual space can be defined, in which case a dual basis may exist.
Шекті өлшемді векторлық кеңістіктер
Шекті өлшемді векторлық кеңістіктер жағдайында, қос жиын әрқашан қос негіз болып табылады және ол бірегей. Бұл негіздер арқылы белгіленеді және егер ковектордың вектордағы мәнін жұптастыру ретінде қарастырсақ, биоортогоналдық шарт мынадай болады:
Қос негізді негізге байланыстыру V негіздері кеңістігінен V* негіздері кеңістігіне бірліктейді, және бұл да изоморфизм болып табылады. Нақты сандар сияқты топологиялық өрістер үшін, қос кеңістік топологиялық кеңістік болып табылады, бұл осы кеңістіктердің негіздерінің Стифель көптіктері арасында гомеоморфизмді анықтайды.
Дуаль кеңістіктің категорикалық және алгебралық құрылысы
Векторлық кеңістіктің (модульдің) қос кеңістігін енгізудің тағы бір жолы – оны категориялық тұрғыдан енгізу. Мұны істеу үшін, R сақинасы үстінде анықталған M модулін қарастырайық (яғни, M категориядағы объект). Одан кейін, M модулінің қос кеңістігі, M* деп белгіленеді, M-нен R-ға барлық R-сызықты модуль гомоморфизмдерінен құралған модуль ретінде анықталады. Бұл жағдайда, қос кеңістіктің қосы, M** деп жазылатын M модулінің екі рет қос кеңістігін де анықтауға болады, ол M*-дан R-ға барлық R-сызықты модуль гомоморфизмдерінен құралған модуль ретінде анықталады.
To formally construct a basis for the dual space, we shall now restrict our view to the case where is a finite dimensional free (left) module, where is a ring with unity. Then, we assume that the set is a basis for From here, we define the Kronecker Delta function over the basis by if and if Then the set describes a linearly independent set with each Since is finite dimensional, the basis is of finite cardinality. Then, the set is a basis to and is a free (right) module.
Қос кеңістік үшін базаны формалды түрде құру үшін, енді M-ді R сақинасының бірттікпен еркін (сол) модулі ретінде қарастырамыз. Онда, {eᵢ} жиыны M үшін база деп есептейік. Осыдан бастап, Кронекер дельта функциясын δᵢⱼ база {eᵢ} арқылы i = j болғанда 1, ал i ≠ j болғанда 0 деп анықтаймыз. Одан кейін, {δᵢⱼ} жиыны әрқайсысы сызықтық тәуелсіз жиынтықты сипаттайды. M шекті өлшемді болғандықтан, {eᵢ} базасы шекті кардиналдылыққа ие. Одан кейін, {δᵢⱼ} жиыны M* үшін база болып табылады және M* – R сақинасының еркін (оң) модулі.
To formally construct a basis for the dual space, we shall now restrict our view to the case where is a finite dimensional free (left) module, where is a ring with unity. Then, we assume that the set is a basis for From here, we define the Kronecker Delta function over the basis by if and if Then the set describes a linearly independent set with each Since is finite dimensional, the basis is of finite cardinality. Then, the set is a basis to and is a free (right) module.