Введение

Понятие линейной алгебры
В линейной алгебре, для векторного пространства с базисом, состоящим из векторов, индексированных множеством индексов (мощность которого является размерностью пространства), двойственное множество является множеством векторов в двойственном пространстве с тем же множеством индексов, таким образом, что и образуют биортогональную систему. Двойственное множество всегда линейно независимо, но не обязательно порождает всё пространство. Если оно порождает всё пространство, то называется двойственным базисом или взаимным базисом для исходного базиса. Обозначая индексированные множества векторов как и , биортогональность означает, что элементы пары имеют внутреннее произведение, равное 1, если индексы совпадают, и равное 0 в противном случае. Символически, значение двойственного вектора из на векторе из исходного пространства выражается как:

где – символ Кронекера.

Введение

Для выполнения операций с вектором, нам необходим прямой метод вычисления его компонент. В декартовой системе координат необходимой операцией является скалярное произведение вектора и базисного вектора. Например,

где – базис в декартовой системе координат. Компоненты можно найти по формуле

Однако, в недекартовой системе координат, не всегда выполняется для всех . Тем не менее, всегда можно найти векторы в дуальном пространстве такие, что

Равенство выполняется, когда являются двойственным базисом к . Обратите внимание на различие в положении индекса.

Существование и уникальность

Двойственный набор всегда существует и задает инъективное отображение из V в V∗, а именно отображение, которое сопоставляет vi элементу vi. Это, в частности, означает, что размерность двойственного пространства больше или равна размерности V.

Однако двойственный набор бесконечномерного пространства V не порождает всё двойственное пространство V∗. Например, рассмотрим отображение w из V∗ в базовое поле F, заданное как w(vi) = 1 для всех i. Очевидно, что это отображение ненулевое на всех vi. Если бы w являлось конечной линейной комбинацией двойственных базисных векторов vi, для некоторого конечного подмножества K из I, то для любого j, не принадлежащего K, , что противоречит определению w. Следовательно, w не принадлежит линейной оболочке двойственного набора. Двойственное пространство бесконечномерного пространства имеет большую размерность (то есть большую бесконечную кардинальность), чем исходное пространство, и, следовательно, они не могут иметь базисы с одинаковым индексирующим множеством. Тем не менее, существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного пространства, изоморфное исходному пространству. Кроме того, для топологических векторных пространств можно определить непрерывное двойственное пространство, в этом случае может существовать двойственный базис.

Конечные векторные пространства

В случае конечномерных векторных пространств двойственное множество всегда является двойственным базисом и при этом единственным. Эти базисы обозначаются и . Если обозначить применение ковектора к вектору как спаривание, то условие биортогональности принимает вид:

Сопоставление двойственного базиса с базисом задает отображение из пространства базисов V в пространство базисов V∗, и это отображение также является изоморфизмом. Для топологических полей, таких как действительные числа, пространство двойственных объектов является топологическим пространством, что определяет гомеоморфизм между многообразиями Стифеля базисов этих пространств.

Категорическая и алгебраическая конструкция двойного пространства

Другой способ ввести двойственное пространство векторного пространства (модуля) — это ввести его в категорийном смысле. Для этого пусть — модуль, определённый над кольцом (то есть, — объект в категории ). Тогда мы определяем двойственное пространство , обозначаемое , как , модуль, образованный всеми -линейными гомоморфизмами модулей из в . Обратите внимание, что мы можем определить двойственное к двойственному, называемое двойственным двойственным пространством , записываемое как , и определяемое как .

Чтобы формально построить базис для двойственного пространства, мы теперь ограничимся случаем, когда — конечномерный свободный (левый) -модуль, где — кольцо с единицей. Тогда мы предполагаем, что множество является базисом для . Исходя из этого, мы определяем функцию дельта Кронекера над базисом следующим образом: если и если . Тогда множество описывает линейно независимое множество, где каждый элемент . Поскольку имеет конечные измерения, базис имеет конечную кардинальность. Следовательно, множество является базисом для , а — свободным (правым) -модулем.