Кіріспе

Математикада алгебралық геометрияның ерекшелігі – проективті сорттағы кейбір сызық бундельдерін "оң" деп санауға болады, ал басқаларын "теріс" (немесе екеуінің қосындысы) деп қарастыруға болады. Позитивтіліктің ең маңызды ұғымы – кең сызық бундель, бірақ сызық бундельдердің бірнеше байланысты кластары бар. Шамамен айтқанда, сызық бундельдің позитивті қасиеттері көптеген жаһандық қималардың болуымен байланысты. Берілген X сортындағы кең сызық бундельдерін түсіну, X-ті проективті кеңістікке бейнелеудің әртүрлі тәсілдерін түсінумен бірдей. Сызық бундельдер мен бөлгіштердің (кодименсиясы 1-ге тең подсорттардан құралған) арасындағы сәйкестікті ескере отырып, кең бөлгіштің эквивалентті ұғымы бар. Толығырақ айтқанда, сызық бундель проективті кеңістікке морфизм беру үшін жеткілікті қималары болса, негіздік нүктесіз деп аталады. Сызық бундель жартылай кең деп аталады, егер оның қандай да бір оң дәрежесі негіздік нүктесіз болса; жартылай кеңдік – бұл "теріс емес" сипаттамасы. Одан да күштірек, толық сорт X-тегі сызық бундель, егер ол X-тің проективті кеңістікке жабық енуін (немесе "қосылуын") беруге жеткілікті қималары болса, өте кең болады. Сызық бундель, егер оның қандай да бір оң дәрежесі өте кең болса, кең болады. X проективті сортындағы кең сызық бундель X-тегі әрбір қисықта оң градусқа ие болады. Керісінше, бұл толығымен дұрыс емес, бірақ керісінше, Накай-Моишезон және Клейманнің кеңдік критерийлерінің түзетілген нұсқалары бар.

Базалық нүктесіз желілер

X схемасы k өрісінде, L сызық бунделімен (мысалы, алгебралық сорт) болсын. (Сызық бунделі кері бундель деп те аталуы мүмкін.) L-дің жаһандық қималарының k векторлық кеңістігінің элементтері болсын. Әр қиманың нөлдік жиыны X-тің жабық ішкі жиыны; U кем дегенде біреуі нөл емес нүктелердің ашық ішкі жиыны болсын. Содан кейін бұл қималар морфизмді анықтайды: U-ның әр x нүктесі үшін L-дің x үстіндегі талшығы k(x) қалдық өрісі бойынша 1 өлшемді векторлық кеңістік болып табылады. Бұл талшықтың негізін таңдау n+1 саннан тұратын тізбек құрайды, барлығы нөл емес, демек проективті кеңістіктегі нүкте. Негізді таңдауды өзгерту барлық сандарды нөлден өзгеше тұрақтымен көбейтеді, сондықтан проективті кеңістіктегі нүкте таңдаудан тәуелсіз. Бұл морфизмнің L-дің U-ға шектелуінің кері бейнеге изоморфты болу қасиеті бар. Х схемасындағы L сызық бунделінің негіздік локусы L-дің барлық жаһандық қималарының нөлдік жиындарының қиылысы болып табылады. Егер L сызық бунделі негіздік болса, онда ол негіздік нүктесіз деп аталады. Яғни, X-тің әр x нүктесі үшін L-дің жаһандық қимасы бар, ол x нүктесінде нөл емес. Егер X k өрісінде жабық болса, онда жаһандық қималардың векторлық кеңістігінің шекті өлшемі бар; бұл өлшем деп аталады. Сондықтан негіздік нүктесіз L сызық бунделі k бойынша морфизмді анықтайды, мұнда , негізді таңдау арқылы, бұл X-тен гипержазықтықтар кеңістігіне морфизм ретінде сипатталуы мүмкін. Бұл морфизм негіздік нүктесіз L сызық бунделімен канонды түрде байланысты. Керісінше, кез келген морфизм f схема X-тен k-ге проективті кеңістікке болсын, кері тартылған сызық бунделі негіздік нүктесіз болады. Шындығында, O(1) проективті кеңістікте негіздік нүктесіз, өйткені y-дың әр нүктесі үшін y-дан өтпейтін гипержазықтық бар. Сондықтан, X-тің әр x нүктесі үшін, f(x)-те нөл емес O(1)-дің s қимасы бар, ал s-тың кері тартылуы x-те нөл емес L-дің жаһандық қимасы болады. Қысқасы, негіздік нүктесіз сызық бундельдер дәл проективті кеңістікке кейбір морфизм арқылы O(1)-дің кері бейнесі ретінде өрнектелуі мүмкін сызық бундельдері болып табылады.

Клейманның критерийі

Клейманның критерийін (1966) тұжырымдау үшін, X – өріс үстіндегі проективтік схема болсын. – X-тегі 1-циклдардың (X-тегі қисықтардың нақты сызықтық комбинациялары) нақты векторлық кеңістігі, сандық эквиваленттілік бойынша. Яғни, екі 1-цикл A және B кеңістігінде тең болады, егер және тек қана әрбір түзу шоғыр A және B-да бірдей дәрежеге ие болса. Нерон-Севери теоремасы бойынша, нақты векторлық кеңістігінің шекті өлшемділігі бар. Клейманның критерийі бойынша, X-тегі L түзу шоғыры кең болады, егер және тек қана L, NE(X) конусының жабылуындағы барлық нөлдік емес элементтер C-де оң дәрежеге ие болса (Бұл, L-дің әрбір қисықта оң дәрежеге ие екенін айтудан сәл күштірек). Балама түрінде, түзу шоғыры кең болады, егер және тек қана оның класы қос векторлық кеңістігіндегі nef конусының ішкі бөлігінде жатса. Клейманның критерийі, өріс үстіндегі проективтік емес, тиісті схемалар X үшін жалпы жағдайда орындалмайды, бірақ егер X тегіс немесе жалпы Q-факториалды болса, орындалады. Проективтік кеңістіктегі түзу шоғыры, егер ол әрбір қисықта оң дәрежеге ие болса, қатаң nef деп аталады, ал Дэвид Мамфорд тегіс проективтік беттерде қатаң nef, бірақ кең емес түзу шоғырларын құрды. Бұл, Накай-Моишезон критерийіндегі шартты алып тастау мүмкін емес екенін көрсетеді және Клейманның критерийінде NE(X) емес, NE(X) конусының жабылуын пайдалану қажеттігін көрсетеді. Кез келген nef түзу шоғыры үшін бетте бар, ал Нагата мен Мамфордтың мысалдарында
C. С. Сешадри көрсеткендей, алгебралық жабық өріс үстіндегі тиісті схемадағы L түзу шоғыры кең болады, егер және тек қана оң нақты сан ε болса, онда барлық (кемеленбейтін) қисықтар C үшін X-те deg(L|C) ≥ εm(C), мұнда m(C) – C нүктелеріндегі көптеуліктердің максималды мәні.

Кейбір кеңдік сипаттамалары өріс k үстіндегі тиісті алгебралық кеңістіктегі түзу шоғырлары үшін де жалпы жағдайда сақталады. Атап айтқанда, Накай-Моишезон критерийі осы жағдайда да жарамды. Картан-Серр-Гротендик критерийі тіпті жалпы жағдайда, Нотер сақинасы R үстіндегі тиісті алгебралық кеңістік үшін де қолданылады. (Егер R үстіндегі тиісті алгебралық кеңістікте кең түзу шоғыры болса, онда ол шын мәнінде R үстіндегі проективтік схема болып табылады.) Клейманның критерийі X тегіс болса да, өріс үстіндегі тиісті алгебралық кеңістіктер X үшін орындалмайды.

Кеңдіктің ашықтығы

X өрісіндегі проективтік схемада Клейманның критерийі, кеңдік R бөлгішінің (Картье бөлгіштерінің R сызықтық комбинациясы) класындағы ашық шарт екенін көрсетеді, оның топологиясы нақты сандардың топологиясына негізделген. (R бөлгіші, егер ол кең Картье бөлгіштерінің оң сызықтық комбинациясы түрінде жазыла алса, кең деп анықталады.) Ең қарапайым жағдай: кең бөлгіш H және кез келген бөлгіш E үшін, |a| < b шартын қанағаттандыратын барлық нақты сандар үшін кең болатын оң нақты сан b бар. Бұтін коэффициенттері бар бөлгіштер (немесе түзу шоғырлар) тұрғысынан қарағанда, бұл nH + E барлық жеткілікті үлкен оң бүтін n үшін кең болады дегенді білдіреді.

Алгебралық отбасының ішінде, әртүрлілік немесе түзу шоғыр өзгерген кезде кеңдік өте ерекше мағынада да ашық шарт болып табылады. Атап айтқанда, f схемалардың дұрыс морфизмі болсын және L – X-тегі түзу шоғыр болсын. Содан кейін, L талшықта кең болатын Y-дегі y нүктелерінің жиыны ашық (Зариски топологиясында). Күштірек айтқанда, егер L бір талшықта кең болса, онда L U үстінде кең болатын y нүктесінің аффиндік ашық маңы бар.

Кең векторлық бундеттер

Робин Хартшорн проекциялық схемадағы X-тің үстіндегі F векторлық бундельді, егер F-тің гипержазықтықтар кеңістігіндегі сызықтық бундель кең болса, кең деп анықтады. Кең сызықтық бундельдердің бірнеше қасиеттері кең векторлық бундельдерге де қатысты. Мысалы, F векторлық бундель кең болса және ғана егер F-тің жоғары симметриялық дәрежелері барлық когерентті қабықшалардың когомологиясын жоятын болса, онда ол кең болады. Сонымен қатар, кең векторлық бундельдің Черн класы X-тің кез келген r өлшемді субвариантында оң дәрежеге ие, мұндағы .

Үлкен желілік түйіндер

Үлкен сызық түйіні деген ұғым, әсіресе бирационалдық геометрияда, кеңдіктің пайдалы әлсіреуі болып табылады. Егер оң сан a және оң бүтін сан бар болса, онда өріс бойынша n өлшемді проективті алуандық X-тегі L сызық түйіні үлкен деп аталады, мұнда барлық үшін . Бұл L-дің қуаттарының қималары кеңістіктерінің мүмкін болатын ең жоғары өсу жылдамдығы, яғни X-тегі кез келген L сызық түйіні үшін барлық j > 0 үшін b оң саны бар. Үлкен сызық түйіндерін сипаттаудың тағы бірнеше тәсілдері бар. Біріншіден, сызық түйіні үлкен болады, егер және тек қана оң бүтін r болса, онда X-тен -ға қималар арқылы берілген рационалдық карта өзінің бейнесіне бирационал болып табылады. Сонымен қатар, L сызық түйіні үлкен болады, егер және тек қана оның оң тензорлық қуаты кең сызық түйіні A мен тиімді сызық түйіні B-нің тензорлық көбейтіндісі болса (яғни ). Соңында, сызық түйіні үлкен болады, егер және тек қана оның класы тиімді бөлгіштер конусының ішкі бөлігінде жатса. Үлкендік – кеңдіктің бирационалдық инвариантты аналогы ретінде қарастырылуы мүмкін. Мысалы, егер бір өлшемді тегіс проективті алуандықтар арасындағы доминантты рационалдық карта болса, онда Y-дегі үлкен сызық түйінінің кері тартылуы X-те үлкен болады. (Алғашқыда кері тартылу тек f морфизмі болатын X ашық ішкі жиынындағы сызық түйіні болып табылады, бірақ ол бірегей түрде X-тің барлық сызық түйініне дейін кеңейтіледі.) Кең сызық түйіндері үшін тек шекті морфизм арқылы кең сызық түйінінің кері тартылуы кең болады деуге болады. Мысал: Х комплекстік сандар үстіндегі нүктеде проективті жазықтықтың көтерілуі болсын. H – X-ке проективті жазықтықтағы түзудің кері тартылуы болсын, ал E – көтерілудің ерекше қисығы болсын. Содан кейін H + E бөлгіші X-те үлкен, бірақ кең емес (немесе тіпті nef), себебі Бұл терісдік сонымен қатар H + E (немесе кез келген оң еселігінің) негізінің E қисығын қамтитынын білдіреді. Шындығында, бұл негіз E-ге тең.