Кіріспе

Алгебралық топ болып табылатын проективті алгебралық сорт. Математикада, әсіресе алгебралық геометрияда, комплекс анализінде және алгебралық сандар теориясында, абельдік сорт – проективті алгебралық сорт, сонымен қатар алгебралық топ, яғни, тұрақты функциялармен анықталатын топтық заңға ие. Абельдік сорттар алгебралық геометриядағы ең көп зерттелген объектілердің бірі және алгебралық геометрия мен сандар теориясының басқа да тақырыптарын зерттеу үшін қажетті құралдар болып табылады. Абельдік сорт кез келген өрісте коэффициенттері бар теңдеулермен анықталуы мүмкін; онда сорт сол өріс үстінде анықталған деп айтылады. Тарихи тұрғыдан алғанда, алғаш зерттелген абельдік сорттар – комплекс сандар өрісінде анықталған сорттар. Мұндай абельдік сорттар, дәл сол комплекс торлары болып шығады, оларды комплекс проективті кеңістікке голоморфты түрде ендіруге болады. Алгебралық сандар өрісінде анықталған абельдік сорттар ерекше жағдай болып табылады, бұл сандар теориясының тұрғысынан да маңызды. Локализация әдістері алгебралық сандар өрісінде анықталған абельдік сорттардан шекті өрістерде және әртүрлі жергілікті өрістерде анықталған сорттарға табиғи түрде алып келеді. Алгебралық сандар өрісі – Дедекинд доменінің бөлшек өрісі болғандықтан, Дедекинд доменінің кез келген нөлдік емес жай мүшесі үшін, Дедекинд доменінен Дедекинд доменінің сол жай мүшеге қатысты бөлігіне дейінгі бейнелеу бар, бұл барлық шекті жай мүшелер үшін шекті өріс. Бұл, өзінің кез келген мүшесіне қатысты бөлшек өрістен шекті өріске бейнелеуді тудырады. Егер алгебралық сандар өрісінде анықталған теңдеуі бар қисық берілген болса, біз осы бейнелеуді коэффициенттерге қолданып, белгілі бір шекті өрісте анықталған қисық аламыз, онда шекті өрістің таңдаулары алгебралық сандар өрісінің шекті жай мүшелеріне сәйкес келеді. Абельдік сорттар табиғи түрде Якоб сорттары (Пикард сорттарындағы нөлдің байланысқан компоненттері) және басқа алгебралық сорттардың Альбанез сорттары ретінде пайда болады. Абельдік сорттың топтық заңы міндетті түрде коммутативті және сорт ерекшеліктері жоқ. Эллиптік қисық – 1 өлшемді абельдік сорт. Абельдік сорттардың Кодайра өлшемі 0-ге тең.

Тарих және мотивация

XIX ғасырдың басында эллипстік функциялардың теориясы эллипстік интегралдар теориясының негізін салуға мүмкіндік берді, бұл зерттеу үшін нақты бағытты ашты. Эллиптік интегралдардың стандартты түрлері кубтық және квартик көпмүшелердің квадрат түбірлерін қамтиды. Егер олар одан да жоғары дәрежелі көпмүшелермен, мысалы, квинтикалармен алмастырылса, не болар еді? Нильс Абель мен Карл Якобидің еңбектерінде жауап берілді: бұл төрт тәуелсіз кезеңге (яғни кезеңдік векторларға) ие екі комплекс айнымалының функцияларын қамтиды. Бұл 2 өлшемді (абельдік бет) абельдік түрдің алғашқы көрінісі болды: қазір 2-туыстың гиперэллиптік қисығының Якобианы деп аталатын. Абель мен Якобиден кейін абельдік функциялар теориясына ең маңызды үлес қоскан ғалымдар Риман, Вейерштрасс, Фробен, Пуанкаре және Пикар болды. Бұл тақырып сол кезде өте танымал болды және кең ауқымды әдебиетке ие болды. XIX ғасырдың соңында математиктер абельдік функцияларды зерттеуде геометриялық әдістерді қолдана бастады. Соңында 1920 жылдары Лефшец комплекс торлар арқылы абельдік функцияларды зерттеудің негізін қалады. Ол сондай-ақ «абельдік сорт» терминін алғаш рет қолданған адам болып есептеледі. 1940 жылдары Андре Вейль алгебралық геометрия тілінде бұл пәнге қазіргі заманғы негізін салды. Бүгінде абельдік сорттар сандар теориясында, динамикалық жүйелерде (әсіресе Гамильтон жүйелерін зерттеуде) және алгебралық геометрияда (особында Пикард сорттары мен Албаниялық сорттарында) маңызды құрал болып табылады.

Анықтама

g өлшемді күрделі тор — нақты өлшемдері 2g болатын және күрделі көпқырлылық құрылымын қабылдайтын тор. Оны әрқашан 2g қатарлы тор арқылы g өлшемді күрделі векторлық кеңістіктің бөлігі ретінде алуға болады. g өлшемді күрделі Абельдік сорты — бұл g өлшемді күрделі тор, сонымен қатар күрделі сандар өрісіндегі проективті алгебралық сорт. Кодайраның кіріктіру теоремасы мен Чоу теоремасын қолдану арқылы g өлшемді күрделі Абельдік сортты оң сызықтық топтаманы қабылдайтын g өлшемді күрделі тор ретінде де анықтауға болады. Олар күрделі торлар болғандықтан, Абельдік сорттар топ құрылымын қабылдайды. Абельдік сорттардың морфизмі — бұл топ құрылымындағы сәйкестік элементін сақтайтын, жатқан алгебралық сорттардың морфизмі. Изогения — бірге-бірге бейнелеуге шекті морфизм. Күрделі тор алгебралық сорт құрылымын қабылдағанда, бұл құрылым міндетті түрде бірегей болады. g = 1 жағдайында Абельдік сорт түсінігі эллиптік қисықпен бірдей, және әрбір күрделі тор мұндай қисыққа әкеледі; g > 1 үшін Риманнан бері алгебралық сорт шарты күрделі торға қосымша шектеулер қоятыны белгілі.

Риманн шарттары

Риманның келесі критерийі берілген күрделі тордың абельдік сан-түрі болып табылатынын, яғни оны проективті кеңістікке ендіруге болатынын анықтайды. Егер X = V/L деп берілген g өлшемді тор болса, онда V – g өлшемді күрделі векторлық кеңістік, ал L – V-дегі тор. Содан кейін X абельдік сан-түрі болады, егер және тек қана V-де оң анықталған гермиттік форма болса, оның жолмай бөлігі L×L жұбында бүтін мәндерді қабылдаса. Мұндай форма X-те (дегенерацияланбаған) Риман формасы деп аталады. V және L үшін базис таңдап, бұл шартты нақтырақ формулировать етіп беруге болады. Бұған бірнеше эквивалентті формулировкалар бар; олардың барлығы Риман шарттары деп аталады.

Алгебралық қисықтың Якобиан

G ≥ 1 геніндегі әрбір алгебралық қисық C, C-ді J-ге аналитикалық бейнелеу арқылы g өлшемді абельдік түрленім J-мен байланысты. Торус ретінде J коммутативті топ құрылымын қабылдайды, ал C-нің бейнесі J-ді топ ретінде тудырады. Нақтырақ айтқанда, J, Cg арқылы жабылады: J-дегі кез келген нүкте C-дегі g-түптік нүктелер жиынынан шығады. C-дегі дифференциалдық формаларды зерттеу, олар теорияның бастауы болған абельдік интегралдарға әкеледі, оны J-дегі дифференциалдардың қарапайым, трансляциялық инвариантты теориясынан шығаруға болады. Кез келген ерекше емес қисық C үшін, күрделі сандар арқылы қарастырылғанда, абельдік түрленім J, C-нің Якобиан түрленім деп аталады. Бирационалдық геометрия тұрғысынан қарағанда, оның функциялық өрісі – Cg функциялық өрісіне әсер ететін g әріптегі симметриялық топтың бекітілген өрісі.

Абель функциялары

Абельдік функция – абельдік кеңістіктегі мероморфтық функция, оны 2n тәуелсіз периодтары бар n комплекс айнымалының периодтық функциясы деп қарастыруға болады; немесе, эквивалентті түрде, бұл абельдік кеңістіктің функциялық өрісіндегі функция. Мысалы, он тоғызыншы ғасырда эллиптік интегралдар арқылы өрнектеуге болатын гиперэллиптік интегралдарға зор қызығушылық болды. Бұл J-дің изогенияға дейін эллиптік қисықтардың көбейтіндісі болуымен байланысты.

Маңызды теоремалар

Абельдік сорттардың маңызды құрылым теоремасы – Мацусака теоремасы. Ол алгебралық жабық өріс үстінде кез келген абельдік сорттың кейбір қисықтың Якобианының бөліндісі екенін мәлімдейді; яғни, Якобиан болатын абельдік сорттардың сюръективті гомоморфизмі бар. Егер негізгі өріс шексіз болса, бұл теорема сақталады.

Нүктелер тобының құрылымы

Анықтама бойынша, абельдік сорт – топтық сорт болып табылады. Оның нүктелер тобының коммутативті екені дәлелделеді. C үшін, және осылайша Лефшец принципі бойынша, кез келген алгебралық жабық, нөлдік сипаттамасы бар өріс үшін, g өлшемді абельдік сорттың торсиялық тобы (Q/Z)2g-ге изоморфты. Осыдан, оның n-торсиялық бөлігі (Z/nZ)2g-ге изоморфты, яғни n реті бар циклдік топтың 2g көшірмесінің көбейтіндісі.

Базалық өріс p сипаттамасымен алгебралық жабық өріс болғанда, n және p өзара жай болса, n-торсия әлі де (Z/nZ)2g-ге изоморфты болады. n және p өзара жай болмаса, n-торсиясы 2g дәрежелі шекті жазық топ схемасын анықтайды деп түсіндірсек, сол нәтижеге қайта қол жеткізуге болады. Егер n-торсиядағы толық схема құрылымын қарастырмай, тек геометриялық нүктелерді қарасақ, p сипаттамасындағы сорттар үшін жаңа инвариант алынады (n = p болғандағы p-рангі деп аталатын). k жаһандық өріс үшін, Морделл-Вейл теоремасы бойынша, k-рационалды нүктелер тобы шекті түрде туындайды. Осыдан, шекті туындаған абельдік топтар үшін құрылым теоремасы бойынша, ол Zr бос абельдік тобының және белгілі бір теріс емес бүтін r үшін шекті коммутативтік топтың көбейтіндісіне изоморфты, мұны абельдік сорттың қатары деп атайды. Осыған ұқсас нәтижелер k өрістерінің басқа да кейбір сыныптары үшін де қолданылады.

Өнімдер

m өлшемді Абелдік сорт пен n өлшемді B Абелдік сорттарының, бірдей өріс үстіндегі көбейтіндісі, m + n өлшемді Абелдік сорт болып табылады. Абелдік сорт егер төмен өлшемді Абелдік сорттардың көбейтіндісіне изогенді болмаса, қарапайым деп аталады. Кез келген Абелдік сорт қарапайым Абелдік сорттардың көбейтіндісіне изогенді болады.

Поляризациялар

Абельдік түрдің поляризациясы – абельдік түрден оның дуалына дейінгі изогендік, ол абельдік түрлер үшін қос дуалдыққа қатысты симметриялы және оған байланысты графикалық морфизм арқылы Пуанкаре шоғының кері тартылуы ампли (яғни, ол оң белгілі квадраттық формаға ұқсас). Поляризацияланған абельдік сорттардың автоморфизмдер тобы шекті. Негізгі поляризация – изоморфизм болатын поляризация. Иакобиандық қисықтар, қисықта кез келген рационалды базалық нүкте таңдалғанда, табиғи түрде негізгі поляризациямен жабдықталады, және гендері 1-ден жоғары болғанда, қисықты оның поляризацияланған Якобианынан қайта құруға болады. Барлық негізгі поляризацияланған абельдік сорттар қисықтардың Якобиандары емес; Шоттки мәселесін қараңыз. Поляризация А эндоморфизм сақинасында Розати инволюциясын тудырады.

Күрделі сандар бойынша поляризациялар

Комплекс сандар бойынша поляризацияланған абельдік түрлілік – бұл абельдік түрлілік А және Риман формасы H таңдалымымен бірге анықталатын түрлілік. Егер n және m оң бүтін сандар болса және nH1=mH2 теңдігі орындалса, онда H1 және H2 екі Риман формасы эквивалентті деп аталады. А-да Риман формаларының эквиваленттілік класын таңдау А-ның поляризациясы деп аталады; комплекс сандар бойынша бұл поляризацияның жоғарыда келтірілген анықтамасына сәйкес келеді. Поляризацияланған абельдік түрліліктердің морфизмі – бұл абельдік түрліліктердің A → B морфизмі, мұнда B-дегі Риман формасының A-ға кері проекциясы A-дағы берілген формаға эквивалентті болады.

Абель схемасы

Абельдік сорттарды схемалық түрде де, базаға қатысты да анықтауға болады. Бұл, мысалы, абельдік сорттардың p модулі бойынша редукциясы (қараңыз: Абельдік сорттар арифметикасы) және абельдік сорттардың параметрлік отбасылары сияқты құбылыстарды біркелкі қарастыруға мүмкіндік береді. g салыстырмалы өлшемді S базалық схемасы бойынша абельдік схема – бұл S-тің үстіндегі дұрыс, тегіс топтық схема, геометриялық талшықтары байланысқан және өлшемі g-ға тең. Абельдік схеманың талшықтары абельдік сорттар болып табылады, сондықтан S-тің үстіндегі абельдік схеманы S арқылы параметрленген абельдік сорттар отбасы ретінде қарастыруға болады. Абельдік схема A / S үшін n-бұрылыстық нүктелер тобы шекті жазық топтық схема құрайды. Барлық n үшін p-бұрылыстық нүктелердің бірігуі p-бөлінетін топты құрайды. Абельдік схемалардың деформациялары, Серре-Тат теоремасына сәйкес, байланысты p-бөлінетін топтардың деформациялық қасиеттерімен анықталады.

Мысал

Болсын, онда күрделі түбірлердің қайталануы болмасын. Онда дискриминант нөлге тең болмайды. деп белгілейік, сонда — схеманың ашық ішкі схемасы болады. — схема үстіндегі абелдік схема болады. Оны схема үстіндегі Néron моделіне кеңейтуге болады, ол схема үстіндегі тегіс топтық схема болып табылады, бірақ Néron моделі дұрыс емес, сондықтан ол схема үстіндегі абелдік схема болып табылмайды.

Жоқ болуы

В. А. Абрашкин және Жан Марк Фонтейн тәуелсіз түрде Q-да барлық жай сандарда жақсы редукцияланатын нөлдік емес абельдік түрлердің жоқтығын дәлелдеді. Балама ретінде, Spec Z-де нөлдік емес абельдік схемалар жоқ. Дәлелдеу pn торсиялық нүктелерінің координаттары өте аз тармақталуға ие және демек, кішкентай дискриминантты сандық өрістерді тудыратынын көрсетуді қамтиды, ал екінші жағынан сандық өрістердің дискриминанттары үшін төменгі шектемелер бар.

Семиябелий сұрыпты

Жартылай абельдік сан алуандығы – коммутативтік топтық сан алуандығы, ол абельдік сан алуандығының торы арқылы кеңейтілген түрі.