Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриядағы шешілмеген мәселе
Unsolved problem in geometry
Математикада Ходж болжамы — алгебралық геометрия және күрделі геометриядағы маңызды шешілмеген мәселе, ол ерекше емес күрделі алгебралық кеңістіктің алгебралық топологиясын оның ішкі кеңістіктерімен байланыстырады. Қарапайым тілмен айтқанда, Ходж болжамы мынаны күйеді: белгілі бір геометриялық кеңістіктердегі тесіктер саны сияқты негізгі топологиялық ақпаратты, күрделі алгебралық кеңістіктерді, сол кеңістіктердің ішінде жатқан әдемі пішіндерді зерттеу арқылы түсінуге болады, олар полиномдық теңдеулердің нөлдік жиындарына ұқсайды. Бұл нысандарды алгебра және аналитикалық функциялардың есебін қолдана отырып зерттеуге болады, бұл басқаша көру қиын жоғары өлшемді кеңістіктердің жалпы пішіні мен құрылымын жанама түрде түсінуге мүмкіндік береді. Нақтырақ айтқанда, болжам бойынша белгілі бір де Рам когомологиялық кластар алгебралық болып табылады; яғни, олар ішкі кеңістіктердің гомологиялық кластарының Пуанкаре дуалдарының қосындысынан тұрады. Оны шотланд математигі Уильям Валланс Дуглас Ходж 1930 және 1940 жылдар аралығында де Рам когомологиясының сипаттамасын толықтыру үшін, күрделі алгебралық кеңістіктерде кездесетін қосымша құрылымды қосу мақсатында жасаған жұмысының нәтижесінде ұсынды. Ходж оны 1950 жылғы Халықаралық математиктер конгресінде баяндама жасағанға дейін бұл мәселеге көп көңіл бөлінбеді, конгресс Массачусетс штатының Кембридж қаласында өтті. Ходж болжамы — Клей математика институтының Мыңжылдық сыйлықтарының бірі, Ходж болжамын дәлелдейтін немесе жоққа шығаратын адамға 1 000 000 АҚШ доллары сыйлық беріледі.
In mathematics, the Hodge conjecture is a major unsolved problem in algebraic geometry and complex geometry that relates the algebraic topology of a non singular complex algebraic variety to its subvarieties. In simple terms, the Hodge conjecture asserts that the basic topological information like the number of holes in certain geometric spaces, complex algebraic varieties, can be understood by studying the possible nice shapes sitting inside those spaces, which look like zero sets of polynomial equations. The latter objects can be studied using algebra and the calculus of analytic functions, and this allows one to indirectly understand the broad shape and structure of often higher dimensional spaces which can not be otherwise easily visualized. More specifically, the conjecture states that certain de Rham cohomology classes are algebraic; that is, they are sums of Poincaré duals of the homology classes of subvarieties. It was formulated by the Scottish mathematician William Vallance Douglas Hodge as a result of a work in between 1930 and 1940 to enrich the description of de Rham cohomology to include extra structure that is present in the case of complex algebraic varieties. It received little attention before Hodge presented it in an address during the 1950 International Congress of Mathematicians, held in Cambridge, Massachusetts. The Hodge conjecture is one of the Clay Mathematics Institute's Millennium Prize Problems, with a prize of $1,000,000 US for whoever can prove or disprove the Hodge conjecture.
Алгебралық циклдер тұрғысынан қайталау
Ходж болжамын тұжырымдаудың тағы бір жолы алгебралық цикл идеясын қамтиды. X-тегі алгебралық цикл – X-тің ішкі кеңістіктерінің формальды комбинациясы; яғни, ол мынадай түрде болады:
Another way of phrasing the Hodge conjecture involves the idea of an algebraic cycle. An algebraic cycle on X is a formal combination of subvarieties of X; that is, it is something of the form
Коэффициенттер әдетте бүтін немесе рационал сандар болып алынады. Алгебралық циклдің когомология класын оның компоненттерінің когомология кластарының қосындысы деп анықтаймыз. Бұл де Рам когомологиясының цикл кластық бейнесінің мысалы, Вейль когомологиясын қараңыз. Мысалы, жоғарыдағы циклдің когомология класы былай болады:
The coefficients are usually taken to be integral or rational. We define the cohomology class of an algebraic cycle to be the sum of the cohomology classes of its components. This is an example of the cycle class map of de Rham cohomology, see Weil cohomology. For example, the cohomology class of the above cycle would be
Мұндай когомология класы алгебралық деп аталады. Осы белгілеумен Ходж болжамы мынадай болады:
Such a cohomology class is called algebraic. With this notation, the Hodge conjecture becomes
Х – проективті комплекстік көпқырлылық болсын. Онда Х-тегі әрбір Ходж класы алгебралық болады. Ходж болжамындағы Х-тің алгебралық (проективті комплекстік көпқырлылық) болуы туралы талапты жеңілдетуге болмайды. 1977 жылы Стивен Цукер Ходж болжамына қарсы мысал жасауға болатынын көрсетті, ол – проективті алгебралық емес, типтегі аналитикалық рационалды когомологиясы бар комплекс тор. (Қосымша B-ні қараңыз).
Let X be a projective complex manifold. Then every Hodge class on X is algebraic. The assumption in the Hodge conjecture that X be algebraic (projective complex manifold) cannot be weakened. In 1977, Steven Zucker showed that it is possible to construct a counterexample to the Hodge conjecture as complex tori with analytic rational cohomology of type , which is not projective algebraic. (see appendix B of )
Гиперүстіңелер
Қуатты және әлсіз Лефшец теоремасы бойынша, гипербеттер үшін Ходж болжамының тривиалды емес жалғыз бөлігі – 2m өлшемді гипербеттің m-дәрежелі бөлігі (яғни орташа когомологиясы). Егер d дәрежесі 2 болса, яғни X квадрик болса, Ходж болжамы барлық m үшін орындалады. Ал, яғни төртөлшемді жағдайларда, Ходж болжамы үшін жағдайлар белгілі.
By the strong and weak Lefschetz theorem, the only non trivial part of the Hodge conjecture for hypersurfaces is the degree m part (i. e., the middle cohomology) of a 2m dimensional hypersurface If the degree d is 2, i. e., X is a quadric, the Hodge conjecture holds for all m. For , i. e., fourfolds, the Hodge conjecture is known for .
Абель сорттары
Көптеген абельдік сорттар үшін Hdg*(X) алгебрасы бірінші дәрежеде туындайды, сондықтан Ходж болжамы орындалады. Атап айтқанда, Ходж болжамы жеткілікті түрде жалпы абельдік сорттар үшін, эллиптік қисықтардың көбейтінділері үшін және жай абельдік сорттар үшін орындалады. Алайда, Hdg2(X) бөлгіш сыныптарының көбейтінділерімен туындамайтын абельдік сорттың мысалы құрастырылды. Осы мысалды жалпылап, сорттың жорамал квадраттық өріс бойынша күрделі көбейтілуі жағдайында Hdg2(X) бөлгіш сыныптарының көбейтінділерімен туындамайтыны көрсетілді. 5-тен кіші өлшемде Hdg*(X) алгебрасы бірінші дәрежеде туындайтыны немесе сорттың жорамал квадраттық өріс бойынша күрделі көбейтілуі дәлелденді. Соңғы жағдайда Ходж болжамы тек ерекше жағдайларда ғана белгілі.
For most abelian varieties, the algebra Hdg*(X) is generated in degree one, so the Hodge conjecture holds. In particular, the Hodge conjecture holds for sufficiently general abelian varieties, for products of elliptic curves, and for simple abelian varieties of prime dimension. However, constructed an example of an abelian variety where Hdg2(X) is not generated by products of divisor classes. generalized this example by showing that whenever the variety has complex multiplication by an imaginary quadratic field, then Hdg2(X) is not generated by products of divisor classes. proved that in dimension less than 5, either Hdg*(X) is generated in degree one, or the variety has complex multiplication by an imaginary quadratic field. In the latter case, the Hodge conjecture is only known in special cases.
Ходж локусының алгебралықлығы
Ходж жорамасын қолдайтын ең сенімді дәлел – алгебралық нәтиже. Егер біз қарапайым байланысқан базада X-тің кешенді құрылымын өзгертетін болсақ, X-тің топологиялық когомологиясы өзгермейді, бірақ Ходж жіктелуі өзгеріске ұшырайды. Ходж жорамасы дұрыс болған жағдайда, базадағы талшықтың когомологиясы Ходж класы болатын барлық нүктелердің орны алгебралық ішкі жиынтық болып табылады, яғни ол полиномдық теңдеулермен анықталады. Каттани, Делинь және Каплан (1995) Ходж жорамасын қабылдамай-ақ, мұның әрқашан дұрыс екенін дәлелдеді.
The strongest evidence in favor of the Hodge conjecture is the algebraicity result of Suppose that we vary the complex structure of X over a simply connected base. Then the topological cohomology of X does not change, but the Hodge decomposition does change. It is known that if the Hodge conjecture is true, then the locus of all points on the base where the cohomology of a fiber is a Hodge class is in fact an algebraic subset, that is, it is cut out by polynomial equations. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) proved that this is always true, without assuming the Hodge conjecture.